Question

O carbono 14, indicado por c14 , é um isótopo radioativo do carbono, formado na atmosfera devido ao bombardeio da Terra por raios cósmicos. Através dos tempos, a quantidade de c14 na atmosfera tem se mantido constante porque sua produção é compensada por sua desintegração. Os seres vivos absorvem e perdem c14 de modo que, em cada espécie, a taxa de c14 também se mantém constante (o carbono é criado nos vegetais durante o processo de fotossíntese e absorvido pelos animais através da ingestão, direta ou indireta, de vegetais). Quando o ser morre, a absorção cessa, mas o c14 neles existente continua a desintegrar-se. Este fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo feito de madeira. Para isto, precisamos saber que a meia-vida do c14 é de 5730 anos (meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade).


1- Seja M0 a massa de c14 em uma dada amostra, no tempo t=0. Calcule a massa M(t) de c14 na amostra, no tempo t , em anos.


2- Qual porcentagem aproximada de uma amostra inicial de c14 resta após 33450 anos?


3- A quantidade de c14 em um fóssil é igual a 3/10 da quantidade de c14 de um ser vivo atual. Qual é a idade aproximada desse fóssil?

Answer 1

Resposta:

1-Pondo a massa M(t) de C14 como sendo dada por $M(t)=M_0 b^t$, com t em anos, onde $M_0=M(0)$ é a massa inicial de C14, tem-se $M(5730)=M_0b^{5730}=\dfrac{M_0}{2}$. Assim, $b^{5730}=\dfrac{1}{2}$ e,$b=\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{5730}=2^{-\frac{1}{5730}}$ logo,$b=\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{5730}=2^{-\frac{1}{5730}}$ . Portanto, $M(t)=M_0\cdot2^{-\frac{t}{5730}}$.

2-Como $M(t)=M_0\cdot2^{-\frac{t}{5730}}$, então $M(33450)=M_0\cdot2^{-\frac{33450}{5730}}\approx M_0\cdot2^{-5,838}\approx 0,0175\cdot M_0$, que é 1,75% de $M_0$.

3-Como $M(t)=M_0\cdot2^{-\frac{t}{5730}}$, tem-se $2^{-\frac{t}{5730}}=\dfrac{M(t)}{M_0}=\dfrac{3}{10}$. Assim, $-\frac{t}{5730}\cdot\log_{10}{2}=\log_{10}{\dfrac{3}{10}}=\log_{10}{3}-\log_{10}{10}=\log_{10}{3}-1$  e, portanto, $t=5730\left(1-\dfrac{\log_{10}{3}}{\log_{10}{2}}\right)\approx 5730\left(1-\dfrac{0,477}{0,301}\right)\approx 9956$. Logo, a idade aproximada do fóssil é 9956 anos.

Explicação passo-a-passo: