Question

O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo importante da Matemática, desenvolvido através da Álgebra e da Geometria, que se dedicam ao estudo das taxas de variação de grandezas, como a inclinação de uma reta, bem como cálculo de área de uma região delimitada por uma curva ou o volume de um objeto qualquer. Existem vários métodos de integração numérica, entre eles a Regra 1/3 de Simpson. Supondo n=4, e utilizando este método, calcule o valor numérico da integral a seguir.
Atenção: h = (b-a)/n

∫_1^5▒〖〖2x〗^2 dx〗

Answer 1

O valor numérico da integral é:

$\int_1^52x^2 \ dx\approx 82,666\ldots$

Integração Numérica - Regra de Simpson

A regra de Simpson composta para integrais definidas é um método numérico muito utilizado no cálculo de integrais e é dada por:

$\int_a^b f(x) \ dx\approx \dfrac{h}{3}\cdot \left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\ldots +f(x_n)\right]$

onde temos

$h=\dfrac{b-a}{n}$

Que representa o tamanho dos subintervalos que serão aplicados na integração e $x_i=a+ih, \ com \ i=0,1,2,\ldots, n$ os pontos que serão as extremidades destes subintervalos.

Para $n=4$, teremos

$h=\dfrac{5-1}{4}\\\\h=1$

E a integral será dada por:

$\int_1^52x^2 \ dx\approx \dfrac{1}{3}\cdot \left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right]$

Calculando o valor das funções para cada extremidade dos subintervalos temos:

$f(x_0)=2x^2\Rightarrow f(1)=2\cdot 1^2=2$

Repetindo o mesmo processo para os subintervalos restantes:

$f(x_1)=f(2)=8\\\\f(x_2)=f(3)=18\\\\f(x_3)=f(4)=32\\\\f(x_4)=f(5)=50$

Substituindo na integral obtemos:

$\int_1^52x^2 \ dx\approx \dfrac{1}{3}\cdot \left[2+4\cdot 8+2\cdot 18+4\cdot 32+50\right]$

$\int_1^52x^2 \ dx\approx \dfrac{1}{3}\cdot \left[2+32+36+128+50\right]$

$\int_1^52x^2 \ dx\approx \dfrac{248}{3}$

$\int_1^52x^2 \ dx\approx 82,666\ldots$

Para saber mais sobre integral definida acesse:

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