Question

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo: T(x,y)=(x+2y,2x+y) Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação?

Answer 1

Os autovalores relacionados a essa transformação são 3 e -1. E os autovetores associados a esses autovalores são do tipo t*(1,1), tal que t pode ser qualquer número real. Esse resultado é obtido tendo em mente que a matriz referida é a matriz canônica da transformação T(x,y).

Como encontrar os autovalores e os autovetores?

Os autovalores e autovetores relacionados à transformação são aqueles da matriz canônica de T.

No caso em questão, a matriz é:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]$

Primeiramente, deve-se encontrar os autovalores da matriz e, depois, os autovetores que são associados a esses autovalores.

Assim, para encontrar os autovalores da matriz, fazemos:

$det(\left[\begin{array}{ccc}1- \lambda&2\\2&1- \lambda\end{array}\right] )=0\\\\(1- \lambda)*(1- \lambda) - 2*2 = 0\\\\\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$

Agora, resolvendo a equação do 2º grau pela fórmula de Bháskara:

Δ = (-2)^2 - 4*1*(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

λ = [-(-2) ± √16]/(2*1)

λ = (2 ± 4)/2

λ = 3 ou -1

Portanto, os autovetores da matriz canônica de T é 3 e -1. Agora, encontrando os autovetores associados a eles, fazemos:

• Para λ = 3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] = 3*\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]$

(x+2y,2x+y) = (3x,3y)

x + 2y = 3x

x - 3x + 2y = 0

-2x + 2y = 0

-x + y = 0

-x = -y

x = y

Portanto, os autovetores associados a λ = 3 são do tipo:

$t*\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right] \text{, tal que t}\in \mathbb{R}$

• Para λ = -1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] = -1*\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]$

(x+2y,2x+y) = (-x,-y)

x + 2y = -x

x + x + 2y = 0

2x + 2y = 0

x + y = 0

x = y

Por isso, da mesma forma, temos que os autovetores associados a λ = -1 são do tipo:

$t*\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right] \text{, tal que t}\in \mathbb{R}$

Para aprender mais sobre autovalores e autovetores, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/49104070

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