Question

O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo: T(x,y)=(x 2y,2x y) Quais os autovalores e autovetores relacionados a essa transformação?

Answer 1

Como não foi nos dito a base da transformação linear, utilizando a base canônica de ℝ² na transformação linear nos dada, temos que seus autovalores e autovetores são respectivamente 3 , -1 e ( 1 , 1 ) , ( -1 , 1 ).

Autovalores e Autovetores

Desejamos calcular os autovalores e os autovetores em $T: \mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2$ da seguinte transformação linear:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}T(x,y)= (x+2y\ ,\ 2x+y)\end{gathered}$

Como não foi nos dito no enunciado a base da transformação, iremos adotar a base canônica de ℝ². Que é dada por:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\xi = \{(1,0),(0,1)\}\end{gathered}$

Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}T(1,0)= (1+2\cdot 0 \ ,\ 2\cdot 1 + 0)= (1,2)\\ T(0,1)= (2\cdot 1 +0\ ,\ 2\cdot 0+ 1)= (2, 1)\end{cases}\end{gathered}$

Logo, temos que a matriz da transformação linear será igual a:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \left[T\right]_\xi = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right] \end{gathered}$

E através dessa matriz que iremos calcular os autovalores e os autovetores, vamos começar com os autovalores, até porquê precisamos deles para encontrarmos os autovetores.

Para encontrar os autovalores de uma matriz, temos que: $\rm \det (T-\lambda \cdot I)=0$. Com isso, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}T-\lambda\cdot I= \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]- \lambda\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\det(T-\lambda\cdot I)= \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{array}\right| \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} (1-\lambda)(1-\lambda)-4=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\lambda^2-2\lambda-3=0\end{gathered}$

Resolvendo por bhaskara, ficamos da seguinte forma:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lambda _{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot (-3)}}{2} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lambda _{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\lambda _{1,2}=\frac{2\pm 4}{2} \longrightarrow \begin{cases}\lambda_1=\frac{6}{2} = \boxed{3}\\ \lambda_2=\frac{-2}{2} = \boxed{-1}\end{cases}\end{gathered}$

• Portanto, os autovalores da transformação linear dada são 3 e -1.

Agora, para encontrarmos os autovetores, temos que associar os resultados dos autovalores utilizando a seguinte fórmula:

$\large\displaystyle\begin{gathered}(T-\lambda \cdot I)\cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda &2\\2&1-\lambda \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]\end{gathered}$

Com isso, temos que para λ = 3 temos o seguinte autovetor:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}-2 &2\\2&-2 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases}-2x+2y=0\\ 2x-2y =0\end{cases}\ \ \therefore \ \boxed{x=y}\end{gathered}$

Logo o autovetor associada a  λ = 3 é igual a ( 1 , 1 ). Já o autovetor associado a λ = - 1 é igual:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}2 &2\\2&2 \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \begin{cases}2x+2y=0\\ 2x+2y =0\end{cases}\ \ \therefore \ \boxed{x=-y}\end{gathered}$

Portanto, o autovetor associado a λ = - 1 é igual ( -1 , 1 ).

Para mais exercícios sobre Autovalores e Autovetores, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/48721439

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