Question

O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas image0995e6b8595_20211112221748.gife image1005e6b8595_20211112221748.gif. Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta. Figura 4.1 - Região limitada pelas funções image0995e6b8595_20211112221749.gife image1005e6b8595_20211112221749.gif

Answer 1

A área proposta do gráfico da figura gerada é igual a 37/12 u.a., letra e).

Ponto de Intersecção

Para ser definido os limites de integração é necessário que seja igualado as duas funções que limitam a área. Também é preciso perceber olhando para o gráfico, há duas áreas, uma acima de x>0 e outra em que x<0.

Igualando as duas equações:

$x^3 = x^2 + 2x\\x^3-x^2-2x=0\\(x^2-x-2)*x=0$

Para a equação acima ser igual a 0, um dos dois termos deve ser igual a 0:

$x^2-x-2=0\\\\x=0$

Equação do Segundo Grau

Para ser resolvida a equação de segundo grau acima, devemos utilizar a fórmula de Bhaskara:

$ax^2+bx+c$

Para a equação acima, tem-se:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Para a equação de segundo grau apresentada, a=1, b=-1 e c=-2:

$x=\frac{1 \pm \sqrt{1-4*1*(-2)} }{2*1}$

Resolvendo a equação acima, chega-se em:

$x_1=\frac{1+3}{2}=2\\\\ \\x_2=\frac{1-3}{2}=-1$

Os intervalos então são: [0,2] e [-1,0]

Integral Definida

Para encontrar a área é necessário seguir os seguintes passos:

• Neste caso, realizar a diminuição entre as funções, tal que f(x) - p(x);
• Realizar a integral indefinida;
• Realizar a integral definida.

Seguindo o passo a passo, primeiro vamos diminuir as funções:

$f(x) - g(x) = x^3 - x^2 -2x$

Realizando a integral indefinida:

$\int{x^3 - x^2 -2x} \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} -x^2 +c$

Aplicando os intervalos e encontrando a área:

$\int\limits^0_ {-1} x^3 - x^2 -2x \, dx =\frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} -0^2 - (\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} -(-1)^2)\\\\\int\limits^0_ {-1} x^3 - x^2 -2x \, dx= -\frac{5}{12}$

$\int\limits^2_ {0} x^3 - x^2 -2x \, dx =\frac{2^4}{4} - \frac{2^3}{3} -(2)^2 - (\frac{(0)^4}{4} - \frac{(0)^3}{3} -(0)^2)\\\\\int\limits^0_ {-1} x^3 - x^2 -2x \, dx= 4 - \frac{8}{3}-4=-\frac{32}{12}$

Não há área negativa, logo o resultado é:

$A=\frac{37}{12}$

Para aprender mais sobre o Cálculo Integral e Diferencial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/7884782?referrer=searchResults

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