Question

O cálculo das integrais duplas requer que seja identificado corretamente a região de integração e os respectivos limites de integração. Com base em informações sobre o cálculo de integrais duplas, calcule a integral da função f(x,y)=1 sobre a região E em que R=[1,3]x[2,4] assinale a alternativa que contém o resultado dessa integral.
A- 4
B- 0
C-1
D-2
E-3

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Integrais Duplas, concluímos que o resultado dessa integral é 4.

♦︎     R = [1, 3] X [2, 4]  significa que a região está compreendida entre as retas   $x=1$ ,  $x=3$ ,  $y=2$  e  $y=4$ . Conforme a figura em anexo, é um retângulo.

➜     Então a integral dupla   $\displaystyle\iint_R f(x,y)dR=\int_{y=2}^{4}\int_{x=1}^{3}1 \ dxdy$

♦︎     Para resolver integrais duplas, basta resolvermos a primeiro a integral 'de dentro', e o resultado vira o integrando para a integral 'de fora'. Portanto, integrando primeiro em relação a x,

$\begin{array}{l}\displaystyle \int _{y=2}^{4}\boxed{\int _{x=1}^{3} \ dx} dy=\int _{y=2}^{4}\boxed{x\Bigl|_{1}^{3}} dy=\\\\\displaystyle =\int _{y=2}^{4} 2\ dy\\\\=2y\Bigl|_{2}^{4}\\\\=4\end{array}$

∴     O resultado da integral é 4, o que consta na alternativa A   ✍️

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