Question

O cálculo da integral resulta em:

Answer 1

Calcular a integral imprópria

$\int_{-\infty}^{2}{\dfrac{dx}{\left(4-x \right )^{2}}}$

Não existem descontinuidades no intervalo de integração. Fazendo a substituição

$u=4-x\\ \\ du=-dx\;\;\Rightarrow\;\;dx=-du$


Encontrando os novos limites de integração:

$x \to -\infty\;\;\Leftrightarrow\;\;u\to+\infty\\ \\ x=2\;\;\Leftrightarrow\;\;u=4-2=2$



Substituindo na integral original

$\int_{-\infty}^{2}{\dfrac{dx}{\left(4-x \right )^{2}}}\\ \\ \\ =\int_{+\infty}^{2}{\dfrac{-du}{u^{2}}}\\ \\ \\ =\int_{2}^{+\infty}{\dfrac{du}{u^{2}}}\\ \\ \\ =\int_{2}^{+\infty}{u^{-2}\,du}\\ \\ \\ =\left[\dfrac{u^{-2+1}}{-2+1} \right ]_{2}^{+\infty}\\ \\ \\ =\left[\dfrac{u^{-1}}{-1} \right ]_{2}^{+\infty}\\ \\ \\ =\left[-\dfrac{1}{u} \right ]_{2}^{+\infty}$

$=\underset{u \to +\infty}{\mathrm{\ell im}}\left(-\dfrac{1}{u} \right )-\left(-\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ =0+\dfrac{1}{2}\\ \\ =\dfrac{1}{2}$


$\boxed{\int_{-\infty}^{2}{\dfrac{dx}{\left(4-x \right )^{2}}}=\dfrac{1}{2}}$