Question

O cálculo da derivada total de uma função f de duas variáveis x e y que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de seu domínio D pertence aos
R², um único número real denotado por z = f(x,y) é apenas a soma das duas derivadas parciais. E para o cálculo das derivadas parciais, utilizando as regras de derivações simples.


A derivada total da função { z = f(x,y) = sen(2x+5y) é
x = cos t
y = sen t

Answer 1

Esse é o enunciado para a Regra da Cadeia com funções de duas variáveis.

$z'(t)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\cdot x'(t)+\dfrac{\partial z}{\partial y}\cdot y'(t)~~~~~~\mathbf{(i)}$


Encontrando as derivadas parciais de $z:$

$\bullet~~\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}[\mathrm{sen}(2x+5y)]\\\\\\ =\cos (2x+5y)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(2x+5y)\\\\\\ =\cos (2x+5y)\cdot 2\\\\ =2\cos (2x+5y)$


Sobre os pontos da curva $(x(t),\;y(t)),$ temos

$\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{\partial z}{\partial x}=2\cos (2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t) \end{array}}$

_______________________________

$\bullet~~\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}[\mathrm{sen}(2x+5y)]\\\\\\ =\cos (2x+5y)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(2x+5y)\\\\\\ =\cos (2x+5y)\cdot 5\\\\ =5\cos (2x+5y)$


Sobre os pontos da curva $(x(t),\;y(t)),$ temos

$\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{\partial z}{\partial y}=5\cos (2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t) \end{array}}$

______________________________

Dessa forma, por $\mathbf{(i)},$ temos

$z'(t)=2\cos (2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t)\cdot (\cos t)'+5\cos (2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t)\cdot (\mathrm{sen\,} t)'\\\\ z'(t)=-2\,\mathrm{sen\,}t\cos(2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t)+5\cos t\cos(2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t)\\\\ \boxed{ \begin{array}{c} z'(t)=(-2\,\mathrm{sen\,}t+5\cos t)\cdot \cos(2\cos t+5\,\mathrm{sen\,}t)\end{array}}$


Resposta: alternativa e.