Question

O arranjo de molas mostrado na figura em anexo tem rigidez equivalente k dada por:

$k=k1 +\frac{k1 k2}{k1+k1} (I)$

Sejam $k2 = 2k1 + 4$ libras-força por plegadas (ib/in) e rigidez equivalente $k=3,6lb/in$ determiando k1 e k2 da seguinte forma:

A) Substitua os valores de k e k2 na equaçã (i)e obtenha a equação quadrática para k1.

B) Resolva a equação obtida em a) e termine k1 e k2.

Answer 1

Resposta:

A) $4k^2_{1} - 3,2k_{1} = 0$.

B)  $k_{1} = 0,8 lb/in$ e $k_{2} = 5,6 lb/in$.

Explicação passo-a-passo: Olá!

Para achar a equação quadrática, primeiramente, substituiremos as informações do texto na equação (I).

$k = k_{1} + \frac{k_{1}. k_{2}}{k_{1} + k_{1}}$ (I)

A primeira informação que podemos substituir é a rigidez equivalente ($k$),que possue valor $k = 3,6lb/in$.

$3,6 = k_{1} + \frac{k_{1}.k_{2}}{k_{1}+k_{1}}$

Outra informação conhecida é a expressão de $k_{2}$, a substituiremos na equação para deixar apenas uma variável e assim ser possível agrupar os termos.

$3,6 = k_{1} + \frac{k_{1}.(2k_{1}+4)}{k_{1}+k_{1}}$

Após a substituição das informações, podemos efetuar as operações.

$3,6 = k_{1} + \frac{2k^{2} _{1} + 4k_{1}}{2k_{1}}$

$3,6 =\frac{2k^{2}_{1}+2k^{2}_{1}+4k_{1}}{2k_{1}}$ , caso tenha passado despercebido, nessa linha foi feito o M.M.C.

$3,6 = \frac{4k^{2}_{1} + 4k_{1}}{2k_{1}}$

$7,2k_{1} = 4k^{2}_{1} + 4k_{1}$

$4k^{2}_{1} +4k_{1}-7,2k_{1} = 0$

$4k^{2}_{1}-3,2k_{1}=0$, logo, essa é a sua equação quadrática, resposta da alternativa (a).

Para responder a alternativa (b), basta achar as raízes e a substituir em $k_{1}$.

Obs.: Essa equação não apresenta o termo c ($a^{2}+b+c=0$), ou seja, já conhecemos uma das raízes, e o valor dela é 0.

Assim, para encontrar o valor da segunda raiz, iremos colocar $k_{1}$ em evidência e depois resolver a equação do primeiro grau.

$k_{1}(4k_{1} - 3,2) = 0$

$4k_{1}-3,2=0$

$4k_{1}=3,2$

$k_{1}=\frac{3,2}{4}$

$k_{1} = 0,8lb/in$, com isso temos o valor de $k_{1}$ e para achar $k_{2}$, basta substituir $k_{1}$ na equação.

$k_{2} = 2k_{1}+4$

$k_{2}=2(0,8)+4$

$k_{2}=5,6lb/in$

Por último, se estiver com dúvidas em relação ao valor encontrado, pegue a equação (I) e substitua os valores encontrados, a resposta tem que dar 3,6.

$k = k_{1}+\frac{k_{1}.k_{2}}{k_{1}+k_{1}}$

$k=(0,8)+\frac{(0,8).(5,6)}{2(0,8)}$

$k= (0,8)+\frac{5,6}{2}$

$k = 0,8 + 2,8$

$k=3,6lb/in$