Question

o argumento do numero complexo $z=-2 \sqrt 3+2i$

Answer 1

Dado um número complexo

$z=a+bi\;\;\;\;(a,\,b \in \mathbb{R})$


Temos que o módulo de $z$ é dado por

$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$


e o argumento de $z$ é o ângulo $\theta,\;\;\;(-\pi<\theta\leq \pi)$

tal que

$\left\{ \begin{array}{c} \cos \theta=\dfrac{a}{|z|}=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta=\dfrac{b}{|z|}=\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \end{array} \right.$


Então, para o número

$z=-2\sqrt{3}+2i\;\;\;\Rightarrow\;\;a=-2\sqrt{3};\;b=2$


o módulo é

$|z|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+(2)^{2}}\\ \\ |z|=\sqrt{12+4}\\ \\ |z|=\sqrt{16}\\ \\ |z|=4$


Para encontrar o argumento de $z,$

$\left\{ \begin{array}{ll} \cos \theta=\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}&\Rightarrow\;\;\cos \theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \mathrm{sen\,} \theta=\dfrac{2}{4}&\Rightarrow\;\;\mathrm{sen}\, \theta=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$


Pelos valores do cosseno e do seno, tiramos que o argumento de $z$ é

$\theta=\dfrac{5\pi}{6}$