Question

o Argumento (ângulo) formado pelo número complexo Z = - 2 + 2i é igual a: 135º 90º 45º 225º 315º

Answer 1

Temos o seguinte número complexo:

$\sf z = \sf \underbrace{ - 2 }_{ \sf a = - 2 \: (parte \: real)}+ \underbrace{2}_{b = 2 \:( parte \: imgin \acute{a}ria)}$

Vamos calcular o módulo desse número, através da fórmula:

$\boxed{ \sf \rho = \sqrt{a { }^{2} + b {}^{2} } }$

Substituindo os dados:

$\sf \rho = \sqrt{( - 2) {}^{2} + (2) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{4 + 4} \\ \sf \rho = \sqrt{8} \\ \boxed{ \sf \rho = 2 \sqrt{2} }$

Agora vamos calcular de fato o argumento, para isso devemos usar a relações trigonométricas seno e cosseno.

$\sf \begin{cases} \sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \\ \sf cos \theta = \frac{a}{ \rho} \end{cases}$

Substituindo:

$\sf sen \theta = \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{2}{2 \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{4} } = \frac{2 \sqrt{2} }{2.2} = \frac{2 \sqrt{2} }{4} = \boxed{ \sf \frac{\sqrt{2} }{2} } \\ \\ \sf cos \theta = \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{4} } = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{2.2} = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{4} = \boxed{ \sf - \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Agora você deve pensar assim: Qual o ângulo que possui o seno igual a √2/2 e o cosseno igual a -√2/2, de cara pensamos em 45°, mas essa hipótese está errada pelo motivo de que o cosseno e seno de 45° é igual a 2√2 e não é o que possuímos, assim você pode pensar no ângulo congruo a 45°, sabemos que o seno só é positivo no primeiro e segundo quadrante, já o cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrante, certamente esse ângulo está no segundo quadrante, pois o seno é positivo e o cosseno negativo, para descobrir esse ângulo vamos usar a simetria:

$\sf45 {}^{ \circ} = \frac{\pi}{4} \\ \\ \sf \sf (\pi - \alpha ) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \\ \\ \sf \frac{3\pi}{4} = \frac{3.180 {}^{ \circ} }{4} = \frac{540 {}^{ \circ} }{4} = \boxed{ \sf135 {}^{ \circ} }$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

135º

Explicação passo-a-passo