Question

o apotema de uma piramide qudrangular regular mede o triplo da aresta da base.Sabenbendo-se que a area total da piramide é 700cm^2, determine a medida da sua altura

Answer 1

O apotema da pirâmide é a "altura" de uma de suas faces.

O apotema, a altura e a aresta da base formarão um triangulo retângulo, como é mostrado no anexo.

A área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (área de um quadrado) com a área das tres faces laterais (áreas triangulares).

Vamos montar esta expressão:

$Area~Total~=~(Area~Base)~+~4\,.\,(Area~da~Face~Lateral)\\\\\\Area~Total~=~(aresta^2)~+~4\,.\,\left(\frac{aresta\,.\,apotema}{2}\right)\\\\\\700~=~aresta^2~+~4\,.\,\left(\frac{aresta~.~3aresta}{2}\right)\\\\\\700~=~aresta^2~+~4\,.\,\left(\frac{3aresta^2}{2}\right)\\\\\\700~=~aresta^2~+~6.aresta^2\right)\\\\\\7.aresta^2~=~700\\\\\\aresta^2~=~\frac{700}{7}\\\\\\aresta~=~\sqrt{100}\\\\\\\boxed{aresta~=~10~cm}$

$Apotema~=~3.aresta\\\\\\Apotema~=~3\,.\,10\\\\\\\boxed{Apotema~=~30~cm}$

Utilizando agora Pitágoras, podemos determinar a medida da altura:

$Apotema^2~=~Altura^2+\left(\frac{aresta}{2}\right)^2\\\\\\30^2~=~Altura^2~+~\left(\frac{10}{2}\right)^2\\\\\\Altura^2~=~900~-~5^2\\\\\\Altura~=~900-25\\\\\\Altura~=~\sqrt{875}\\\\\\Altura~=~\sqrt{5~.~5~.~5~.~7}\\\\\\\boxed{Altura~=~5\sqrt{35}~cm}$