Question

o apotema de um triângulo equilátero mede 3 centímetros determine o lado do triângulo

Answer 1

Na figura, temos um triângulo equilátero $QRS$ inscrito a uma circunferência.

$\bullet\;\; r$ é medida do raio da circunferência:

$r=\mathrm{med}(\overline{CQ})$


$\bullet\;\; a$ é a medida do apótema do triângulo $QRS:$

$a=\mathrm{med}(\overline{CP})=3\text{ cm.}$


$\bullet\;\;\ell$ é a medida do lado do triângulo $QRS:$

 $\ell=\mathrm{med}(\overline{QR})$


$\bullet\;\;$ a altura $h$ do triângulo equilátero é a medida do segmento $\mathrm{med}(\overline{PR}):$

$h=\mathrm{med}(\overline{PR})=a+r\\ \\ h=3+r$


Os triângulos $PQC$ e $PRQ$ são semelhantes, pois pelo menos dois de seus ângulos internos são congruentes. Fazendo a proporção entre lados correspondentes, temos que

$\dfrac{\mathrm{med}(\overline{PQ})}{\mathrm{med}(\overline{QR})}=\dfrac{\mathrm{med}(\overline{PC})}{\mathrm{med}(\overline{CQ})}\\ \\ \\ \dfrac{(\diagup\!\!\!\! \ell/2)}{\diagup\!\!\!\! \ell}=\dfrac{a}{r}\\ \\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{r}\\ \\ r=2a\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ \\ \\ \dfrac{\mathrm{med}(\overline{PQ})}{\mathrm{med}(\overline{QC})}=\dfrac{\mathrm{med}(\overline{PR})}{\mathrm{med}(\overline{RQ})}\\ \\ \\ \dfrac{{(\ell/2)}}{r}=\dfrac{a+r}{\ell}\\ \\ \\ \ell \cdot \dfrac{\ell}{2}=r\cdot (a+r)\\ \\ \ell^{2}=2r\cdot (a+r)$


Como $r=2a,$ temos que

$\ell^{2}=2\cdot (2a)\cdot (a+2a)\\ \\ \ell^{2}=4a\cdot 3a\\ \\ \ell^{2}=12a^{2}\\ \\ \ell=\sqrt{12a^{2}}\\ \\ \ell=\sqrt{4a^{2}\cdot 3}\\ \\ \ell=2a\sqrt{3}\\ \\ \ell=2\cdot 3\sqrt{3}\\ \\ \ell=6\sqrt{3}\text{ cm}.$