Question

o angulo interno de um poligono de 170 diagonais é
a)80
b)17
c)162
d)135
e)81

Answer 1

O número de diagonais de um polígono regular é dado por:
$D= \frac{n \cdot (n-3)}{2}$

Com essa expressão acima, pode-se encontrar o número de lados do polígono. Observe:
$D= \frac{n \cdot (n-3)}{2} \\ \\ 170= \frac{n \cdot (n-3)}{2} \\ \\ n \cdot (n-3)= 170 \cdot 2 \\ \\ n \cdot (n-3)= 340 \\ \\ n^2-3n= 340 \\ \\ n^2-3n-340=0$

Resolva essa equação do segundo grau da maneira que você preferir. Irei utilizar a fatoração:
$n^2-3n-340=0 \\ \\ (n-20) \cdot (n+17)= 0 \\ \\ \\ n-20= 0 ~~~~~~~~ n+17= 0 \\ \\ n= 20 ~~~~~~~~~~ n= -17$

Como sabemos que o número de lados não pode ser negativo, tomemos então que o valor de n será:
$\boxed{n= 20}$

Obs.: se o número de lados é 20, estamos lidando com um icoságono.

O ângulo interno de um polígono é determinado pela seguinte relação:
$i= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Por fim, encontrando o ângulo interno i:
$i= \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \\ \\ i= \frac{(20-2) \cdot 180}{20} \\ \\ i= \frac{18 \cdot 180}{20} \\ \\ i= \frac{3240}{20} \\ \\ \boxed{\boxed{i= 162^\circ}}$

Answer 2

Bom Dia

• Formula para calcular diagonais de um polígono:

d=n(n-3)/2

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d=n(n-3)/2

170=n²-3n/2

170·2=n²-3n/2

340=n²-3n

-n²+3n+340=0 → Equação do 2°

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• Vamos em busca dos valores, lembrando que estamos em busca de um valor (N*≥3):

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-n²+3n+340=0 → A=-1 | B=3 | C=340

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Δ=b²-4·a·c

Δ=3²-4·(-1)·340

Δ=9+4·340

Δ=9+1360

Δ=1369

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n=-b+-Δ/2·a

n=-3+-√1369/2·(-1)

n=-3+-37/-2

n'=-3+37/-2 → 34/-2 = -17

n''=-3-37/-2 → -40/-2 = 20

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Com isso, agora sabemos que este polígono tem 20 lados(Icoságono):

• Formula para encontrar qualquer angulo interno de um polígono regular:

i=180(n-2)/n

i=180(20-2)/20

i=180·18/20

i=3240/20

i=162°

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• Não podemos dizer que esse polígono é regular, pois não sabemos se este é equilátero, mas podemos afirmar que ele é equiângulo e por esse motivo utilizamos a formula do calculo do ângulo interno de um polígono regular.

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Att;Guilherme Lima