Question

O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular mede 30º. Quantas diagonais possui esse polígono?

Answer 1

Solução. Considere um polígono regular genérico mostrado na figura. Os ângulos consecutivos medem (2x). O ângulo formado por suas bissetrizes é vértice de um triângulo isósceles cujos lados congruentes são raios da circunferência circunscrita. Temos:

i) x + x + 30° = 180° - 30° / 2 = 75°

ii) Ai = (2x) = 2 * (75°) = 150°

iii) 180° * (n-2) / n = 150° => 180°*n - 360 = 150°*n => 180°*n- 150°*n = 360° =>n=360°/30° = 12

iv) d=n (n-3)/2 = 12(12-3)/2 = (6)*(9) = 54, portanto o polígono possui 54 diagonais.