O ângulo entre os vetores X e Y ´e π/3, e suas normas são 1 e 2, respectivamente. Se V = X + Y e W = X − Y , calcule kV × Wk.
Soluções para a tarefa
kV × Wk vou considerar que é V x W produto vetorial
faça x=(a,b,c) e y=(d,e,f)
cos60=x.y/(2*1)
1/2=x.y/2
x.y=1
produto escalar
(a,b,c).(d,e,f)=1
ad+be+cf=1
(ad+be+cf)²=1²
a²d²+b²e²+c²f² +2*(adbe+adcf+becf)=1
-2*(adbe+adcf+becf) = a²d²+b²e²+c²f² -1 eq. (i)
V=(a+d,b+e,c+f)
W=(a-d,b-e,c-f)
faça o produto vetorial , encontrará um vetor
V x W é o determinante, vou usar Sarrus
x y z x y
a+d b+e c+f a+d b+e
a-d b-e c-f a-d b-e
=x*(b+e)*(c-f) +y*(c+f)*(a-d)+z*(a+d)*(b-e) -y*(a+d)*(c-f)-x*(c+f)(b-e)-z*(b+e)*(a-d)
= 2 c e x - 2 b f x - 2 c d y + 2 a f y + 2 b d z - 2 a e z
=2*(ce - bf)* x + 2*(af - cd)*y + 2*(bd - ae )z
V x W = [ 2*(ce - bf) ; 2*(af - cd) ;2*(bd - ae ))
encontrando o módulo deste vetor | V x W |
| V x W | = √[4*((ce - bf)²+(af - cd)² +(bd - ae )²)]
=(ce - bf)²+(af - cd)² +(bd - ae )²
=a^2 e^2 + a^2 f^2 - 2 a b d e - 2 a c d f + b^2 d^2 + b^2 f^2 - 2 b c e f + c^2 d^2 + c^2 e^2
=a^2 e^2 + a^2 f^2 + b^2 d^2 + b^2 f^2 + c^2 d^2 + c^2 e^2- 2*( b c e f+ a b d e + a c d f)
usando eq. (i)
=a²e² + a²f² + b²d² + b²f² + c²d² + c²e² + a²d²+b²e²+c²f² -1
=a²e² + a²f² + b²d² + b²f² + c²d² + c²e² + a²d²+b²e²+c²f² - 1
=(a²+ b²+ c²) (d² + e² + f²) - 1
Não esquecendo que x=(a,b,c) e y=(d,e,f)
|x|² = a²+ b²+ c²
|y|²= d² + e² + f²
ficamos com |x|²*|y|² -1 , como |x|=1 e |y|=2
| V x W | =√4*(|x|²*|y|² -1)
| V x W | =2√(|x|²*|y|² -1)