Question

O angulo entre os planos π1: -x+z-12=0 π2:x+z-10=0 mede

Answer 1

Primeiro vamos pegar os vetores normais de cada um dos planos.
As coordenadas do vetor normal são os coeficientes de x, y e z nas equações gerais, então, o vetor normal de π1 é (-1,0,1) e o de π2 é (1,0,1).
Calculando a norma deles:

|n1| = raiz de ((-1)² + 0² + 1²) = raiz de 2
|n2| = raiz de (1² + 0² + 1²) = raiz de 2

Pela fórmula de ângulo entre planos:

cosθ = |n1 . n2|/||n1||.||n2||
Falta então fazer o escalar n1 . n2 = (-1,0,1)(1,0,1) = -1 + 0 + 1 = 0

logo, 

cosθ = 0/raiz de 2.raiz de 2 = 0/2 = 0

arccos0 = π/2 (ou 90º).

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ângulo entre os referidos planos é:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = 90^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Em outras palavras podemos dizer que os planos são:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Perpendiculares\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os planos:

                 $\Large\begin{cases} \pi_{1}: -x + z - 12 = 0\\\pi_{2} : x + z - 10 = 0\end{cases}$

Para calcular o ângulo entre os planos devemos calcular o ângulo entre seus vetores normais. Então, devemos:

• Recuperar os vetores normais de ambos os planos.

        Sabemos que as componentes do vetor normal de um plano são os coeficientes de cada uma de suas variáveis. Então, temos:

                     $\Large\begin{cases} \vec{n_{1}} = (-1, 0, 1)\\\vec{n_{2}} = (1, 0, 1)\end{cases}$

• Calcular o ângulo entre os vetores normais.

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \theta = \textrm{ang}(\vec{n_{1}},\,\vec{n_{2}})\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}}{\parallel\vec{n_{1}}\parallel\cdot\parallel\vec{n_{2}}\parallel}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{(-1,0, 1)\cdot(1,0,1)}{\sqrt{(-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+ 0^{2} + 1^{2}}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{(-1)\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1}{\sqrt{2} \cdot\sqrt{2}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{-1 + 0 +1}{\sqrt{2\cdot2}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \arccos\bigg(\frac{0}{\sqrt{4}}\bigg)\end{gathered} }$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \arccos(0)\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 90^{\circ}\end{gathered}$

Portanto, o ângulo entre os planos é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = 90^{\circ}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$