Question

o altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude H acima do nível do mar, em quilômetros detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica P, em ATM, por:

$h(p) \: = \: 20. log_{10}( \frac{1}{p} )$

Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,8 ATM. Considerando a aproximação
$log_{10}2 \: = \: 0.3$a altitude H do avião nesse instante, em quilômetros, era de:

a) 2
b) 5
c) 8
d) 10
e) 12​

Answer 1

Com os cálculos realizados concluímos que a altura que o avião se encontra é de 2 km e tendo alternativa correta a letra A.

A inversa da função exponencial de base a é a função $\textstyle \sf \sf \log_a: \mathbb{R} _+^{\ast} \to \mathbb{R}$, que associa a cada número real positivo x o número real $\textstyle \sf \sf \log_a\:x$, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e a ≠ 1.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf h(p) =20 \cdot \log_{10}\: \left( \dfrac{1}{p} \right) \\ \sf p = 0{,} 8 \: atm \\ \sf \sf \log_{10} \: 2 = 0{,}3 \\\sf h(0{,}8) = \:?\: km \end{cases} } }$

Solução:

Usando a definição de função logarítmica, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(p) =20 \cdot \log_{10}\: \left( \dfrac{1}{p} \right) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \log_{10}\: \left( \dfrac{1}{0{,}8} \right) } }$

Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_a \: \dfrac{x}{y} = \log_a \: x - \log_a\: y } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot [ \log_{10} 1 - \log_{10} \: 0{,}8 ] } }$

Observação:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a \: 1, ~ pois~ a^0 = 1 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ 0 - \log_{10} \: \dfrac{8}{10} \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - \log_{10} \: \dfrac{8}{10} \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( \log_{10} \: 8 - \log_{10}\:10) \:\right ] } }$

Observação:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_a \: a, ~ pois~ a^1 = a }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( \log_{10} \: 2^3 - 1 )\:\right ] } }$

Aplicando a propriedade de logaritmo de uma potência:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\log_a \: x^{y} = y \cdot \log_a \: x } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( 3 \cdot \log_{10} \: 2 - 1 )\: \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( 3 \cdot 0{,}3 - 1 )\: \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( 0{,}9 - 1 )\: \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ - ( -\;0{,}1 )\: \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot \left[ + 0{,}1 \right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h(0{,}8) =20 \cdot 0{,}1 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h(0{,}8) = 2 }$

Portanto, a altura que o avião se encontra é de 2 km.

Alternativa correta é a letra A.

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Answer 2

Resposta:

Alternativa correta é a letra A