Question

O algarismo das unidades da soma
2^2 – 1^2 + 4^2 – 3^2 + 6^2 – 5^2 +.......+ 2016^2 – 2015^2
é:
(A) 8.
(B) 6.
(C) 4.
(D) 2.
(E) 0.

Answer 1

Soma: $S= 2^2-1^2+4^2-3^2+6^2-5^2+...+2016^2-2015^2$

Produto notável:
$a^2-b^2= (a-b) \cdot (a+b)$

Aplicando esse produto notável na soma, teremos,
$S= 2^2-1^2+4^2-3^2+...+2016^2-2015^2 \\ \\ = (2-1) \cdot (2+1)+(4-3) \cdot (4+3)+...+(2016-2015) \cdot (2016+2015) \\ \\ = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 7+...+1 \cdot 4031 \\ \\ = 3+7+...+4031$

Perceba que a sequência forma uma progressão aritmética (P.A.) de razão igual a quatro.
Calculando quantos termos há nessa P.A.:
$A_n= A_1+ (n-1) \cdot r \\ \\ 4031= 3+(n-1) \cdot 4 \\ \\ 4031-3= 4n-4 \\ \\ 4028+4= 4n \\ \\ 4032= 4n \\ \\ \frac{4032}{4} = n \\ \\ \boxed{1008 = n}$

Portanto, a soma das parcelas será,
$S_n= \frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} \\ \\ S_n= \frac{(3+4031)\cdot 1008}{2} \\ \\ S_n= \frac{4034 \cdot 1008}{2} \\ \\ \boxed{\boxed{S_n= 2033136}}$

Por fim, a unidade equivale a seis. Alternativa B.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, amigo, que a resolução é simples.
Pede-se o algarismo das unidades da seguinte soma:

Sn = 2² - 1² + 4² - 3² + 6² - 5² + ... + 2016² - 2015²

Note que temos aqui uma sequência de produto da soma pela diferença entre dois números [(x²-y²) =(x+y)*(x-y),lembra?]. Ou seja, temos isto:

Sn = (2+1)*(2-1) + (4+3)*(4-3) + (6+5)*(6-5) + ... + (2016+2015)*(2016-2015) --- desenvolvendo, teremos:

Sn = 3*1 + 7*1 + 11*1 + ... + 4.031*1 ---- ou apenas:
Sn = 3 + 7 + 11+ ... + 4.031.

Veja que temos aí uma PA, cujo primeiro termo "a₁" é igual a "3", cuja razão (r) é igual a "4" (pois 11-7 = 7-3 = 4) e cujo último termo (an) é igual a "4.031".
Vamos, portanto, encontrar qual é o número de termos dessa PA. Para isso, aplicaremos a fórmula do termo geral, que é dado por:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "4.031" (que é o valor do último termo. Substituiremos "a₁" por "3" (que é o valor do 1º termo) e substituiremos "r" por "4", que é o valor da razão. Assim, fazendo essas substituições, teremos;

4.031 = 3 + (n-1)*4
4.031 = 3 + 4*n - 4*1
4.031 = 3 + 4n - 4 ----- vamos ordenar o 2º membro, ficando:
4.031 = 3 - 4 + 4n ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
4.031 = - 1 + 4n ----- passando "-1" para o 1º membro, teremos:
4.031 + 1 = 4n
4.032 = 4n ---- vamos apenas inverter, ficando:
4n = 4.032
n = 4.032/4
n = 1.008 <--- Este é o valor do número de termos da PA acima.

Finalmente, agora vamos para a fórmula da soma dos termos de uma PA, que é dada assim:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S₁₀₀₈", pois a nossa PA tem 1.008 termos. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "3", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "an" por "4.031", que é o valor do último termo. E, finalmente, substituiremos "n" por "1.008", que é o valor do número de termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos;

S₁₀₀₈ = (3+4.031)*1.008/2 ------ como "3+4.031=4.034" e 1.008/2 = 504, teremos:
S₁₀₀₈ = (4.034)*504 ----- ou, o que é a mesma coisa;
S₁₀₀₈ = 4.034*504 ----- note que este produto dá exatamente "2.033.136". Logo:
S₁₀₀₈ = 2.033.136

Assim, como é pedido o algarismo das unidades, então já estamos vendo aí em cima que o algarismo das unidades da soma dada (2.033.136) é o algarismo:

6 <---- Esta é a resposta. Opção "B".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.