Question

O algarismo das unidades da diferença 72^25 - 19^5 é?
a)1
b)3
c)5
d)7
e)9

Gabarito: Letra D

Como resolver essa questão???

Answer 1

Veja, meu caro...
O algarismo das unidades de uma potência, no caso de números inteiros, é definido exclusivamente pelo algarismo das unidades do número que serve de base para a potência.
Para exemplificar, tomemos as 10 primeiras potências positivas de 2:
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024)
Quanto ao algarismo das unidades:
(2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4)
Perceba, meu amigo, que o algarismo das unidades se repete ciclicamente. No caso dos números com final 2, essa repetição se dá a cada quatro potências.
De posse desse conhecimento, resta definir qual é esse período de repetição para o caso dos números 72 e 19.

I) 72
72 tem o 2 como seu algarismo das unidades. Como já vimos o caso dos números terminados em 2, já podemos determinar que:
A vigésima-quinta potência de 72 tem o 2 como algarismo das unidades (isso porque 25 deixa resto 1 quando dividido por 4)

II) 19
Sejam as primeiras 4 potências positivas de 9:
(9, 81, 729, 6561)
Já definimos um padrão!
Potências ímpares geram números com o algarismo 9 nas unidades, potências pares geram um número com o algarismo 1 nas unidades
Assim sendo, a quinta potência de 19 carrega o algarismo 1 nas unidades

Ora, sabemos que:
(72^25) tem o 2 como algarismo das unidades
(19^5) tem o 9 como algarismo das unidades

Ainda, é bastante evidente que (72^25 - 19^5) > 0 (isso é importante no caso de ter que definir o algarismo das unidades).

Te afirmo, sem medo, que o algarismo das unidades do resultado de (72^25 - 19^5) é 3, porque, numa linguagem coloquial: "2 - 9 vai dar no 3 da dezena anterior".

Alternativa (B)

Mas, como o gabarito diz (D), eu fiquei intrigado e calculei o resultado por meio de um aplicativo online:

(72^25 - 19^5) = 27121419161564558068894103990026016011614566333

Então, acho que é a (B) mesmo a resposta certa.