Question

O algarismo da unidade da terça parte de 3^2018 é:

A) 7
B) 1
C) 9
D) 3
E) 4

Answer 1

Olá.

Algebricamente, teremos o cálculo do produto de 1/3 (a terça parte) com 3 elevado a 2018, ou seja:

$\mathsf{\dfrac{1}{3}\cdot3^{2018}}$

O primeiro passo é desenvolver a expressão, onde usaremos algumas propriedades de potências que apresento abaixo.

- Potência com expoente negativo. Quando tem um expoente negativo, inverte-se a base em forma de fração.

$\mathsf{a^{-1}=\dfrac{1}{a}}$

 

- Produto de potências. Em multiplicação de potências de mesma base, mantemos o a base e somamos o expoente.

$\mathsf{a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$

Desenvolvendo, teremos:

 

$\mathsf{\dfrac{1}{3}\cdot3^{2018}}\\\\\mathsf{3^{-1}\cdot3^{2018}}\\\\\mathsf{3^{(-1)+2018}}\\\\\mathsf{3^{2017}}$

 

$3^1=3\\3^2=9\\3^3=27\\3^4=81\\3^5=243\\3^6=729\\3^7=2.187\\3^8=6.561$

 

É possível perceber que a repetição dos algarismos da unidades (congruência) a cada 4 casos. Podemos afirmar que há uma congruência a partir do módulo do expoente por 4, já que o padrão acontece a cada 4 casos.

Para deixar mais evidente a congruência, uso o modelo:

 

a | b ≡ c

 

“a dividido por b deixa resto c”.

 

Demonstro a congruência, substituindo b por 4 e a pelos expoentes.

 

1 | 4 ≡ 1

2 | 4 ≡ 2

3 | 4 ≡ 3

4 | 4 ≡ 0

5 | 4 ≡ 1

6 | 4 ≡ 2

7 | 4 ≡ 3

8 | 4 ≡ 0

 

Para o resto 1, o último algarismo é 3.

Para o resto 2, o último algarismo é 9.

Para o resto 3, o último algarismo é 7.

Para o resto 0, o último algarismo é 1.

 

Usando módulo em 2017, teremos:

 

2017 | 4 ≡ 1

 

Como o resto é 1, podemos afirmar que o algarismo é 3, alternativa letra D.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Considerando as potências de 3:
3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 =9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243
3^6 = 729
3^7 = 2187
3^8 = 6561

Se observarmos o último algarismo de cada um dos resultados percebemos que existe uma sequência dada por (1,3,9,7) sucessivamente. Façamos o seguinte teste para 3^7 para saber o último algarismo. Fazendo para um número conhecido, saberemos o algoritmo para um número desconhecido como 3^2018. Logo:

3^7 ---- dividindo 7 por 4(que é o número de algarismos que se repete)
2187 ----resto da divisão: 3

3^6 ----- dividindo 6 por 4
729 ----- resto da divisão: 2

3^5 ---- dividindo 5 por 4
243 ----- resto da divisão: 1

3^4 ---- dividindo 4 por 4
81 ---- resto da divisão:0

Ou seja, o resto da divisão entre o expoente e 4 determinará qual será o último algarismo a partir da tabela a seguir:

Resto        0 1 2 3
Algarismo 1 3 9 7

Portanto, dividindo  a terça parte de 3^2018 por 4 temos:

(1/3)*3^2018 = 3^(2018-1) = 3^2017.

2017/ 4 = 504 com resto 1. Ou seja, de acordo com o algoritmo e a tabela expostos acima o último algarismo será 3 e a alternativa correta é a letra D.