Question

O acidente radioativo de Chernobyl ficou conhecido como o maior desastre do gênero no Planeta Terra. A expressão Q(t) = Q_{0}e^{-0,023t}Q(t)=Q ​0 ​​ e ​−0,023t ​​ representa a quantidade de átomos radioativos liberados em Chernobyl, no instante tt, onde Q_0Q ​0 ​​ é a quantidade inicial. Calcule o tempo para que a quantidade de átomos seja igual à metade da quantidade inicial. Considere \text{ln}\ 2 = 0,69ln 2=0,69 onde ln corresponde ao logaritmo natural (base ee).

Answer 1

O tempo sera de t=30.

Temos a seguinte equacao a ser resolvida:

$Q(t)=Q_{0}*e^{-0,023t}$

O exercicio pede que:

Q(t)=1/2*Q₀

Substituindo na equacao:

$1/2*Q_{0}=Q_{0}*e^{-0,023t}$

Para resolver a questao precisamos aplicar logaritmo neperiano dos dois lados da equacao:

$ln(1/2)= ln(e^{-0,023t})$

Precisamos entao lembrar das seguintes propriedades do logaritmo neperiano:

• Logaritmo natural do quociente

O logaritmo natural de um quociente é igual à diferença dos logaritmos naturais:

ln(a/b)=lna−lnb

• Logaritmo natural de uma potência

O logaritmo natural de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo natural da base dessa potência.

lnaˣ=x⋅lna

Temos entao:

ln 1 - ln 2 = -0,023t ln(e)

Lembrando tambem que:

ln 1 = zero;

ln(e)=1;

e, dado pelo exercicio que ln 2 =0,69

Entao temos:

0 - 0,69 = -0,023t*(1)

t=0,69/0,023

t=30

O exercicio nao da a unidade do tempo, mas supondo que sejam dias, entao temos que a quantidade de tempo sera de 30 dias.