Question

O ∆ABC abaixo é retângulo em Â. Qual é o valor

da soma dos catetos y e z. (como eu resolvo?)

Answer 1

Olá,

No triângulo CAD, temos:
z² = 8² + (x + 12)²
z² = 64 + x² + 24x + 144
z² = x² + 24x + 208

No triângulo ADB, há um ângulo reto em D, temos:
y² = x² + 8²
y² = x² + 64

No triângulo CAB, temos:
(x + 12 + x)² = z² + y²
(2x + 12)² = z² + y² 
4x² + 2*2x*12 + 144 = z² + y²
4x² + 48x + 144 = z² + y²

Substituindo dos valores de z² e y²:
4x² + 48x + 144 = (x² + 24x + 208) + (x² + 64)
4x² - x² - x² + 48x -24x = 208 + 64 - 144
4x² - 2x² + 24x = 128
2x² + 24x - 128 = 0 ÷ 2
x² + 12x - 64 = 0
Δ = 144 + 256 = 400

x' = (-12 + 20)/2
x' = 8/2
x' = 4

x'' é negativo e não se pode ter valor negativo como medida, então x = 4.
Vamos agora encontrar o valor de y e z

y² = x² + 64
y² = 4² + 64
y² = 16 + 64
y² = 80
y = √80
y = 4√5

z² = x² + 24x + 208
z² = 4² + 24*4 + 208
z² = 16 + 96 + 208
z² = 320
z = √320
z = 8√5

Somando y e z:
4√5 + 8√5 = 12√5

Obs.: Os valores negativos das raízes não foram considerados, pois trata-se de medidas de segmentos.

Bons estudos ;)