Question

o 6º termo de desenvolvimento do binômio de Newton (x³ + 2)8 é:? (a) 729 . x¹¹ (b) 297 . x 8 (c) 2830 . x6 (d) 1792 . x9

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\sf ( {x}^{3} + 2) {}^{8}$

• Como trata-se de um expoente muito elevado, daria trabalho para desenvolvê-lo, mesmo usando o Teorema do desenvolvimento do binômio, portanto usaremos o Termo geral do binômio, pois tal fórmula nos permite calcular elementos do binômio separadamente, ele é dado por:

$\sf T_{p + 1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p}$

• Onde:

→ "a" e "b" representam o primeiro e o segundo termo do binômio, respectivamente;

→ "n" expoente;

→ "p" a posição que é encontrada através relação (p + 1 = y), onde "y" é termo que procuramos, ou seja, no nosso caso seria 6.

• Substituindo os dados:

$\sf T_{p + 1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p} \\ \\ \sf T_{p + 1} = \binom{8}{p}(x {}^{3}) ^{8-p}.(2)^{p}$

Pare encontrar o valor de "p" usaremos a relação citada acima no começo da questão.

$\sf p + 1 = y \\ \sf p + 1 = 6 \\ \sf p = 6 - 1 \\ \boxed{ \sf p = 5}$

Substituindo o valor de "p" na fórmula:

$\sf T_{5 + 1} = \binom{8}{5}(x {}^{3} )^{8-5}.(2)^{5} \\ \\ \sf \sf T_{6} = \binom{8}{5}(x {}^{3} )^{3}.32 \\ \\ \sf T_{6} = \binom{8}{5} . {x}^{9} .32 \\ \\ \sf T_{6} = \binom{8}{5} .32x {}^{9} \\ \\ \sf T_{6} = \frac{8!}{5!3!}.32x {}^{9} \\ \\ \sf T_{6} = \frac{8.7.6. \cancel{5!}}{ \cancel{5!}3!}.32x {}^{9} \\ \\ \sf T_{6} = \frac{336}{3.2.1} .32 {x}^{9} \\ \\ \sf T_{6} = 56.32x {}^{9} \\ \\ \boxed{ \sf T_{6} = 1792x {}^{9} }$

• Resposta: Alternativa d)

Espero ter ajudado