Matemática, perguntado por vitorrivatalamini466, 8 meses atrás

- O 47° termo da P.A. ( -38, -23, -8, 7, ...) será:
a) Menor que 600
b) Entre 600 e 655
c) Maior que 660

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (-38, -23, -8, 7,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-38

c)quadragésimo sétimo termo (a₄₇): ?

d)número de termos (n): 47 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 47ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do quadragésimo sétimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, aproximando-se e afastando-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = -23 - (-38) ⇒

r = -23 + 38

r = 15 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quadragésimo sétimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₇ = -38 + (47 - 1) . (15) ⇒

a₄₇ = -38 + (46) . (15) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₄₇ = -38 + 690 ⇒

a₄₇ = 652

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O quadragésimo sétimo termo da P.A.(-38, -23,...) é 652, portanto, é um termo situado entre 600 e 655. (ALTERNATIVA B.)

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₇ = 652 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

652 = a₁ + (47 - 1) . (15) ⇒

652 = a₁ + (46) . (15) ⇒

652 = a₁ + 690 ⇒ (Passa-se 690 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

652 - 690 = a₁ ⇒

-38 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -38 (Provado que a₄₇ = 652.)

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