Question

Números especiais
Um número é chamado de especial se ele não contém o algarismo zero e, além disso,
a soma de seus algarismos é igual ao dobro do primeiro algarismo. Por exemplo, o
número 8161 é especial, pois:
nenhum de seus algarismos é o zero;
a soma de todos os seus algarismos é 8 + 1 + 6 + 1 = 16;
o dobro de seu primeiro algarismo é 8 2 = 16.
a) Existe um número especial de cinco algarismos que seja par? Por quê? Caso
exista, dê um exemplo.
b) Qual é o menor número especial de quatro algarismos?
c) Qual é o maior número especial?
d) Qual é o maior número especial que tem todos os algarismos distintos?

Answer 1

Olá, Lucas.

 

a) Vamos construir o seguinte exemplo. Do segundo ao penúltimo algarismo, todos iguais a 1. O último algarismo igual a 2, para que o número seja par.

Assim, chamando o primeiro algarismo de a, temos que:
a + 1 + 1 + 1 + 2 = 2a => a = 5

O número, portanto, é 51112.

 

Nos itens "b", "c" e "d" abaixo, vamos chamar o primeiro algarismo de a, o segundo de b, o terceiro de c, o quarto de d, e assim por diante.

 

b) a + b + c + d = 2a

Fazendo b = c = d = 1, temos a + 1 + 1 + 1 = 2a => a = 3

Portanto, o menor número especial de quatro algarismos é 3111.

 

c) a + b + c + d + ... = 2a => a = b + c + d + ...

Fazendo a = 9 e o restantes dos algarismos todos iguais a 1, de forma a tornar o número o mais extenso possível, temos:

9 = 1 + 1 + 1 + ... => deveremos ter nove algarismos 1.

Portanto, o maior número especial é 9.111.111.111.

 

d) a + b + c + d = 2a => a = b + c + d

Fazendo a = 9 (maior primeiro algarismo possível), temos b + c + d = 9

Tentemos b=8 => 9 = 8 + c + d => c + d = 1 => c ou d deve ser igual a zero (não pode).

Tentemos, então, b = 7 => 7 + c + d = 9 => c + d = 2 => c = d = 1 (não pode, queremos todos os algarismos distintos).

Fazendo b = 6, temos:

6 + c + d = 9 => c + d = 3 => c = 2 e d = 1

Portanto, o maior número especial com todos algarismos distintos é 9621.

Lembrando ainda que não existe número especial com cinco algarismos todos distintos, pois os valores mínimos para os quatro últimos algarismos seriam 4321 ou 1234 ou etc., cuja soma dá 10 (número com dois algarismos).

Answer 2

Resposta:

a) Existem vários,basta que ele termine em um número par para que seja par.Pode até começar com um ímpar,contanto que termine em um número par.

Exemplo:12648.Esse número é par e possui cinco algarismos.

b)1234

c) 9 8 7 6

d)9.870.654.321

Explicação passo-a-passo: