Question

números de faces triangulares e o numero de faces quadrangulares de um poloedro com 20 arestes e 10 vertices. ajuda por favorr

Answer 1

Vamos começar utilizando a relação de Euler.

Nesta equação, são relacionados o numero de faces (F), arestas (A) e vértices (V) de poliedro convexo.

$\boxed{V~+~F~=~A~+~2}\\\\\\Substituindo~os~dados~fornecidos\\\\\\10~+~F~=~20~+~2\\\\\\F~=~22~-~10\\\\\\\boxed{F~=~12}$

Como dito no texto, o poliedro em questão é formado por faces triangulares e faces quadrangulares.

Para facilitar a escrita, vamos chamar de Q o numero de faces quadrangulares e de T o numero de faces triangulares.

Cada face quadrangular é formada por 4 arestas, já as faces triangulares, por 3.

Note, no entanto que, cada aresta em um poliedro, é compartilhada por duas faces.

Dessa forma, Q multiplicado por 4 (nº de arestas da face quadrangular) somado a T multiplicado por 3 (nº de arestas da face quadrangular), ou seja, 4Q+3T, deve ser igual ao dobro de arestas dadas no texto, já que cada aresta é contabilizada 2 vezes em "4Q+3T". Temos então:

$4Q~+~3T~=~2\cdot20\\\\\\\boxed{4Q~+~3T~=~40}$

Sabemos também que a soma das faces deve ser igual a 12 (calculado anteriormente pela relação de Euler), logo:

$\boxed{Q~+~T~=~12}$

Perceba que, com isso, temos 2 equações e 2 incógnitas e, portanto, podemos utilizar qualquer método conhecido de resolução de sistemas de equação.

$\begin{cases} 4Q~~+~~3T~=~40 \\ ~\,Q~~+~~~T~\,=~12 \end{cases}$

Utilizando o método da substituição, vamos isolar Q na 2ª equação e substituir na 1ª:

$Q~+~T~=~12\\\\\\\boxed{Q~=~12-T}\\\\\\\\4Q~+~3T~=~40\\\\\\4\cdot(12-T)~+~3T~=~40\\\\\\48~-~4T~+~3T~=~40\\\\\\-T~=~-8\\\\\\\boxed{T~=~8}\\\\\\Substituindo~T~para~achar~Q:\\\\\\Q~=~12-T\\\\\\Q~=~12-8\\\\\\\boxed{Q~=~4}$

Resposta: O poliedro possui 8 faces triangulares e 4 quadrangulares.