Question

Números complexos (20 pontos)

Determine o conjunto dos números complexos z que satisfaça Re(z) >= 0. Faça o esboço desse conjunto no plano complexo.

Answer 1

Resposta: Figura em anexo

Explicação passo-a-passo:

Faremos z = x + yi (ou z = a + bi, como preferir). Com isso:

$z\ =\ x+yi$  ⇔

$z^2\ =\ (x + yi)^2$  ⇔

$z^2\ =\ x^2+2xyi+(yi)^2$  ⇔

$z^2\ =\ x^2+ 2xyi+y^2i^2$  ⇔

$z^2\ =\ x^2+2xyi+y^2(-1)$  ⇔

$z^2\ =\ (x^2-y^2)+(2xy)i$  ⇒

$Re(z^2)\ =\ x^2-y^2\ \ e\ \ Im(z^2)\ =\ 2xy$  

Logo:

$Re(z^2)\geq 0\ \ e\ \ Re(z^2)\ = x^2-y^2$  ⇒

$x^2-y^2\geq 0$  ⇒

$(x +y)(x-y)\geq 0$  ⇒

$(x+y\geq 0\ \ e\ \ x-y>0)\ ou\ (x+y>0\ \ e\ \ x-y\geq 0)$  (i)

ou

$(x+y\leq0\ \ e\ \ x-y<0)\ ou\ (x+y<0\ \ e\ \ x-y\leq 0)$  (ii)

Lembrando que para que o produto de dois fatores seja positivo, ambos devem ser positivos ou os dois simultaneamente negativos (mais com mais resulta em mais e menos com menos também dá mais), explicando o porquê das equações (i) e (ii). De (i) temos:

$(-x\leq y\ \ e\ \ y<x)\ ou\ (-x<y\ \ e\ \ y\leq x)$  ⇒

$(-x\leq y<x)\ ou\ (-x<y\leq x)$  (iii)

De (ii) temos:

$(y\leq -x\ \ e\ \ x<y)\ ou\ (y<-x\ \ e\ \ x\leq y)$  ⇒

$(x<y\leq-x)\ ou\ (x\leq y<-x)$  (iv)

Representando (iii) e (iv) no plano de Argand-Gauss (Plano Complexo) e depois reunindo (iii) e (iv) (o que equivale a reunir (i) e (ii)), obteremos o seguinte conjunto de pontos no plano de Argand-Gauss (figura anexada).

Existe uma segunda resolução para tal questão, porém achei um pouco mais extensa ainda e preferi postar essa mesmo. Posso ter errado em algo, por isso peço para que analise direitinho e qualquer coisa comente no campo apropriado.

Abraços!!