Question

Numero inteiros de algarismos que sao iguais ao dobro do produto de seus algarismos

Answer 1

Veja que:

$12=10\times1+2$

$35=10\times3+5$

Assim, o número $\text{AB}$ vale $10\text{A}+\text{B}$

Queremos um número que seja igual ao dobro do produto de seus algarismos.

Ou seja, $10\text{A}+\text{B}=2\text{AB}$

$10\text{A}=2\text{AB}-\text{B}$

$\text{A}=\dfrac{\text{B}\cdot(2\text{A}-1)}{10}$

Como $\text{A}$ é um algarismo, $\text{B}\cdot(2\text{A}-1)$ deve ser um múltiplo de $10$

Note que $10=1\cdot10=2\cdot5$. Deste modo $\text{B}\cdot(2\text{A}-1)$ é da forma $10^{\alpha}\cdot p_{1}^{\beta}\cdot p_{2}^{\gamma}\dots$ ou da forma $2^{\delta}\cdot5^{\epsilon}\cdot q_{1}^{\lambda}\cdot q_{2}^{\mu}\dots$, com $p_1, p_2 , q_1, q_2, \dots$ primos e $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\lambda,\mu\ge1$ naturais.
Se $\text{B}=1$, deveríamos ter $2\text{A}-1=10$, ou seja, $\text{A}=\dfrac{11}{2}$, não satisfaz.

$\text{B}$ não pode ser igual a $10$ pois é um algarismo.

Assim, a única possibilidade é $\text{B}=5$ ou $2\text{A}-1=5$.

No primeiro caso, devemos ter $2\text{A}-1\in\mathbb\{2,4,6,8,10,12,14,16,18\}$, mas em todos os casos $\text{A}$ não é inteiro.

Logo, $2\text{A}-1=5$, e portanto, $\boxed{\text{A}=3}}$. E $\text{B}$ deve ser um algarismo par, $\text{B}\in\mathbb\{2,4,6,8\}$.

Mas $\text{A}=\dfrac{\text{B}\cdot(2\text{A}-1)}{10}$. Substituindo $\text{A}$ por $3$:

$3=\dfrac{\text{B}\cdot(2\cdot3-1)}{10} \iff 3\cdot10=\text{B}\cdot(6-1)$

$5\text{B}=30 \iff \text{B}=\dfrac{30}{5} \iff \boxed{\text{B}=6}}$

Logo, o único número de dois algarismos que satisfaz o enunciado é $36$.

De fato, pois $36=2\cdot3\cdot6$