Question

numero das raízes da equação (x/x+1)^2 + (x+1/x)^2 = 17/4 é:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4

Answer 1

Resposta: E

Explicação passo-a-passo:

Sejam

1) a = x/(x+1)  e  2) 1/a = (x+1)/x²

Assim temos : a² + (1/a)² =17/4

Se fatoraramos a² +(1/a)² , temos o produto npotável (a+1/a)² - 2.

Assim (a+1/a)² - 2 = 17/4

(a+1/a)² =17/4 +2 => (a+1/a)² =17/4+ 8/4, ou seja, (a+1/a)² = 25/4.

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados, temos:

a+1/a = 5/2 ou a+1/a = - 5/2.

equivale a dizer que (a² +1)/a = 5/2  ou (a² +1)/a = -5/2

Arrumando temos duas eq polinomiais de 2º grau.

a² - (5/2)*a +1 = 0 (I)  ou a² +(5/2)*a +1 = 0 (II)

Soluções de (I) a = 2 ou a = 1/2

Soluções de (II) a = -2 ou a = -1/2

Substituindo (I) em 1) achamos x = -2 e x = 1 e testando as duas soluções na equação inicial, elas são verdadeiras

Substituindo (II) em  1) achamos x = -2/3 e x = -1/3 e testando em 1) as duas soluções servem.

Soluções{-2,-2/3,-1/3,1}