Question

numero complexo cujo produto por 1-2i é real e cuja soma com 6+i é

imaginário puro?

Answer 1

Seja z o número complexo em questão

$\boxed{z =a+bi}$

Onde 'a' é a parte real e 'b' é a parte imaginária
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O produto entre z e 1 - 2i é real
Calculando o produto:

$z*(1-2i)=(a+bi)*(1-2i)\\z*(1-2i)=a-2ai+bi-2bi^{2}\\z*(1-2i)=a-2ai+bi-2b(-1)\\z*(1-2i)=a-2ai+bi+2b$

Organizando o resultado em parte real e imaginária:

$z*(1-2i)=(a+2b)+(bi-2ai)\\z*(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i$

Para que esse número seja real, a parte imaginária deve ser nula.

$b-2a=0\\b=2a$
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A soma de z com 6 + i é imaginário puro
Calculando a soma:

$z+(6+i)=(a+bi)+(6+i)\\z+(6+i)=a+6+bi+i\\z+(6+i)=(a+6)+(b+1)i$

Para que o número seja imaginário puro, sua parte real deve ser nula

$a+6=0\\a=-6$

$b=2a\\b=2(-6)\\b=-12$
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$z=a+bi\\\\\boxed{\boxed{z=-6-12i}}$