Question

Numa urna temos 6 bolas pretas identica e 3 bolas vermelhas tambem identicas. São retiradas, uma de cada vez, sem reposição, essas 9 bolas. O numero de sequencias distintas possiveis com que pode ser feita essa extração das 9 bolas é:

Answer 1

Existem 5040 sequências distintas com as bolas pretas e vermelhas.

O problema nos diz que todas as bolas são retiradas da urna sem reposição.

Se todas elas fossem de cores distintas, teríamos 10! (dez fatorial) sequências diferentes. Mas como temos bolas com cores repetidas, vamos ter sequências repetidas.

A forma de remover as sequências repetidas é dividindo 10! pelas permutações das cores que se repetem.

Como temos 6 bolas pretas, existem 6! possíveis repetições de bolas pretas.

Como temos 3 bolas vermelhas, Existem 3! possíveis repetições de bolas vermelhas.

Desta forma, o número de sequências distintas D será

$D  = \dfrac{10!}{3!\cdot6!}$

Simplificando, obtemos:

$D  = \dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{3!\cdot6!}$

$D  = 10\cdot3\cdot4\cdot7\cdot6!$

$D  = 5040$

Você pode estar se perguntando por que dividimos 10! por 3! e por 6!

Para exemplificar, Vamos fazer um exemplo parecido:

Imagine que a urna tenha apenas 1 bola preta e 3 bolas vermelhas.

Além disso, as bolas vermelhas estão escritas com as letras A, B e C e a bola preta está marcada com P

Então existem 6 sequências possíveis onde a bola preta é a primeira a ser retirada:

PABC, PACB,

PBAC, PBCA,

PCAB, PCBA

Entretanto, todas elas correspondem a 1 bola preta seguida de 3 bolas vermelhas. Se não tivesse letras escritas nas bolas, você não saberia diferencias PABC de PCBA por que estas duas sequências seriam "preto, vermelho, vermelho, vermelho.

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