Question

Numa situação hipotética, um vírus contaminou um indivíduo, num certo país no dia 13/03/2020 e sua propagação obedece ao seguinte padrão de contaminação:



13/03/2020 => 1 pessoa

14/03/2020 => 3 pessoas

15/03/2020 => 9 pessoas

16/03/2020 => 27 pessoas

17/03/2020 => 81 pessoas



a) Determine quantas pessoas serão contaminadas no décimo terceiro dia de contaminação





b) E no décimo oitavo dia?







c) Determine em forma de potência a quantidade de pessoas que serão contaminadas a exatos 2 meses do início da contaminação. (obs.: Considere mês comercial = 30 dias)



​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Te uma

Progressão Geométrica

de razão três.

=> A razão de uma PG é dada pelo quociente de um termo pelo seu antecessor.

$\mathsf{R=\dfrac{3}{1}\Rightarrow3}$

=> Um termo geral da PG é dado por:

$\mathsf{a_n=a1\times q^{n-1}}$

A)

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{13-1}}$

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{12}}$

$\mathsf{a_{13}=3^{12}}$

$\mathsf{\boxed{\underbrace{a_{13}=531.441}}}$

B)

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{18-1}}$

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{17}}$

$\mathsf{a_{13}=3^{17}}$

$\mathsf{\boxed{\underbrace{a_{13}=129.140.163}}}$

C)

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{60-1}}$

$\mathsf{a_{13}=1\times3^{59}}$

$\mathsf{\boxed{\underbrace{a_{13}=3^{59}}}}$

Answer 2

Progressão Geométrica

   O vírus propaga-se de modo progressivo, especificamente, geometricamente progressivo. Essas progressões são caracterizadas pela forma com que obtemos o próximo termo da sequência: por meio da multiplicação.

   Cada termo desta progressão pode ser escrito como sendo o termo anterior multiplicado pela razão. Observe:

$a_{n}=a_{n-1}\cdot q$

Exemplos:

$a_{2}=a_{1}\cdot 3$  ∴  $3=1\cdot 3$

$a_{3}=a_{2}\cdot 3$  ∴  $9 = 3\cdot 3$

$a_{4}=a_{3}\cdot 3$  ∴  $27=9\cdot 3$

   1. Vamos determinar o termo geral.

$a_{n}=a_{n-1}\cdot q\\\\a_{n-1}=a_{n-2}\cdot q\\\\a_{n-2}=a_{n-3}\cdot q\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\a_{3}=a_{2}\cdot q\\\\a_{2}=a_{1}\cdot q$

   Podemos anular alguns fatores, visto que agora vamos calcular o produto de todas essas equações.

$a_{n}=\diagup \! \! \! \! \! a_{n-1}\cdot q\\\\\diagup \! \! \! \! \!a_{n-1}=\diagup \! \! \! \! \!a_{n-2}\cdot q\\\\\diagup \! \! \! \! \!a_{n-2}=\diagup \! \! \! \! \!a_{n-3}\cdot q\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\. ~~~~~~~~~~~~~~.\\\diagup \! \! \! \! \!a_{3}=\diagup \! \! \! \! \!a_{2}\cdot q\\\\\diagup \! \! \! \! \!a_{2}=a_{1}\cdot q$

   Feito isso, ficamos com:

$a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}$   (α)

Dados:

$a_1=1~~~~\wedge~~~~q=3$

   Essa é a equação que permite calcular qualquer termo da progressão.

   2. Vamos determinar a soma dos $n$ primeiros termos:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+(...)+a_{n-1}+a_{n}$

Utilizando a equação (α) em cada um dos termos diferentes de $a_{1}$, temos:

$S_{n}=a_{1}+a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2+(...)+a_{1}\cdot q^{n-1}~~~~(I)$

   Vamos multiplicar essa por $q$:

$q\cdot S_{n}=a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2+(...)+a_{1}\cdot q^n~~~~(II)$

   Faremos a equação $(II) - (I)$:

$q\cdot S_{n}=\diagup \! \! \! \! \!a_{1}\cdot q+\diagup \! \! \! \! \!a_{1}\cdot q^2+(...)+\diagup \! \! \! \! \!a_{1}\cdot q^{n-1}+a_1\cdot q^n\\\\-S_n=-a_1+(-\diagup \! \! \! \! \!a_1\cdot q)+(-\diagup \! \! \! \! \!a_1\cdot q^2)+(...)+(-\diagup \! \! \! \! \!a_1\cdot q^{n-1})$

   Resultado da subtração:

$S_n(q-1)=-a_1+a_1\cdot q^n\rightarrow S_n=\dfrac{a_1\cdot (q^n-1)}{(q-1)}.$

A) O número de pessoas que serão contaminadas no 13° dia:

$a_{13}=a_1\cdot q^{12} \rightarrow a_{13}=3^{12}~pessoas.~~~~\vee~~~~a_{13}=531\:441~pessoas.$

B) No 18° dia:

$a_{18}=a_1\cdot q^{17}\rightarrow a_{18}=3^{17}~~~~\vee~~~~a_{18}=129\:140\:163~pessoas.$

C) Após 2 meses:

$a_{60}=a_1\cdot 3^{59}\rightarrow a_{60}=3^{59}~pessoas.$

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