Question

Numa sala de aula existem 10 meninas e 12 meninos. Quantas comissões de 5 alunos podem ser formadas , sabendo que será composta por 2 meninos e 3 meninas?​

Answer 1

Podem ser formadas 7.920 comissões. Veja a seguir:

Para formamos uma comissão, devemos escolher 2 meninos (dos 12 presentes na sala de aula) e 3 meninas (das 10 que também estão na sala). Dessa maneira, se x é o número de comissões,

$x = C^{12}_2\cdot C^{10}_3 ~~~~(i)$

Na expressão acima, $C^{12}_2$ representa a escolha dos 2 meninos da comissão a partir do grupo de 12. De maneira análoga, $C^{10}_3$ representa a escolha das 3 meninas da comissão a partir do grupo de 10.

O símbolo C significa que a escolha foi feita usando uma Combinação, que é usada quando a ordem dos elementos selecionados não importa. Por definição, uma combinação de n elementos escolhendo-se k é calculada como:

$C^n_k = \dfrac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$

Assim, usando em (i):

$x = C^{12}_2\cdot C^{10}_3\\\\x = \dfrac{12!}{(12-2)!\cdot2!}\cdot \dfrac{10!}{(10-3)!\cdot3!}\\\\x = \dfrac{12!}{\diagup\!\!\!\!\!\!10!\cdot2!}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\!10!}{7!\cdot3!} = \dfrac{12!}{2!}\cdot \dfrac{1}{7!\cdot3!}$

Podemos "abrir" o 12! como: $12! = 12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7!$. Substituindo acima,

$x = \dfrac{12!}{2!}\cdot \dfrac{1}{7!\cdot3!}\\\\x = \dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot\diagup\!\!\!\!\!7!}{2!\cdot3!\cdot\diagup\!\!\!\!\!7!} = \dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{2!\cdot3!}\\\\x = \dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1} = \dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\!12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{\diagup\!\!\!\!\!\!12}\\\\x = 11\cdot10\cdot9\cdot8\\\\\boxed{x=7.920}$