Question

Numa sala com 30 alunos, dentre os quais Ana, Bruno, Caio e David, serão sorteados 6 deles para um debate, numa mesa redonda. Sabe-se que os quatro alunos citados só irão ao debate se forem todos juntos, de modo que Ana e Bruno fiquem sempre juntos, e Caio e David não poderão ficar juntos. Nessas condições, de quantas maneiras pode-se acomodar o quatro na mesa de debate?

Answer 1

Olá.

Vamos chamar Ana de A, Bruno de B, Caio de C e D de David.
Lembrando que a fórmula de Permutação Circular é igual a $PC_{n}$ = (n-1)!
A,B,C,D já foram sorteados.
Logo, dos 26 restantes, devemos escolher 2. Daí:
C(26,2) = $\frac{26!}{24!2!}$ = 325.
Agora, olhando para a imagem abaixo, como A e B devem estarem juntos, então vamos considerar o bloco AB como se fosse um só. E considere x1 e x2 as outras duas pessoas escolhidas. Daí, AB, x1, x2 podem se sentar de 2! maneiras (aqui foi usado $PC_{3}$ = (3-1)! ). E o bloco AB pode se permutar de 2 formas. Daí, como C e D não podem ficar juntos, o C tem apenas 3 lugares para escolher. E o D, 2.
Logo: 325*3*2*2*2 = 7800 maneiras de ordenar as pessoas na mesa.

Portanto, temos 7800 maneiras de acomodar os quatro.