Question

Numa rodovia de mão dupla, um carro encontra-se 15 m atrás de um caminhão (distância entre pontos médios), ambos trafegando a 80 km/h. O carro tem uma aceleração máxima de 3 m/s². O motorista deseja ultrapassar o caminhão e voltar para sua mão 15 m adiante do caminhão. No momento em que começa a ultrapassagem, avista um carro que vem vindo em sentido oposto, também a 80 km/h. A que distância mínima precisa estar do outro carro para que a ultrapassagem seja segura?

Answer 1

Resposta:

Consideremos a posição inicial do carro a origem de nosso eixo orientado.

Sabemos que sua velocidade inicial é de 80 km/h ≈ 22,22 m/s, e que sua aceleração é de 3 m/s².

Assim, a função horária de sua posição é a seguinte:

$x_c = x_0_c + v_0_ct + \frac{1}{2}at^2\\\\\Longleftrightarrow x_c = 22,22\cdot t + \frac{3}{2}\cdot t^2$

O caminhão, que está inicialmente 15 metros a sua frente, move-se em M.R.U., com velocidade igual à velocidade inicial do carro. Assim, a função horária da posição do caminhão é esta:

$x_t = x_0_t + v_0_tt\\\\\Longleftrightarrow x_t = 15 + 22,22\cdot t$

Calculemos o instante em que o carro consegue ultrapassar o caminhão e se põe 15 metros a sua frente:

$x_c - x_t = 15\\\\\Longleftrightarrow \left(22,22\cdot t + \frac{3}{2}\cdot t^2 \right)- \left( 15 + 22,22\cdot t \right) = 15\\\\\Longleftrightarrow \frac{3}{2}\cdot t^2 = 30\\\\\Longleftrightarrow t^2 = 20\\\\\Longleftrightarrow t = \sqrt{20} \approx 4,47\,\,s.$

Nesse instante, o carro estará ocupando a seguinte posição no eixo:

$x_c = 22,22\cdot 4,47 + \frac{3}{2}\cdot 4,47^2\\\\\Longleftrightarrow x_c = 129,38\,\,m.$

Sabemos que o segundo carro move-se em M.R.U. à mesma velocidade inicial do primeiro carro, em sentido oposto.

A função horária de sua posição é a seguinte:

$x_c_2 = x_0_{c2} + v_0_{c2}\cdot t\\\\\Longleftrightarrow x_c_2 = x_0_{c2} - 22,22\cdot t$

Para que os dois carros estejam inicialmente a uma distância mínima de segurança, eles devem ocupar a mesma posição para t = 4,47 s (eles ocupam mãos distintas!).

Assim:

$129,38 = x_0_{c2} - 22,22\cdot 4,47\\\\\Longleftrightarrow x_0_{c2} = 228,76\,\,m.$

Portanto, a distância mínima inicial entre os dois carros é:

$x_0_{c2} - x_0_c = 228, 76 - 0 = \boxed{228,76\,\,m.}$