Question

Numa repartição pública há nove mulheres e sete homens. Quantos grupos de sete componentes distintos podem ser formados, de modo que haja, em cada grupo, pelo menos três mulheres e um homem?

Answer 1

$\text{Para a sele\c{c}\~ao das tr\^es mulheres necess\'arias,}\\\text{h\'a a seguinte quantidade de combina\c{c}\~oes:}\\\\\dfrac{9!}{3!(9-3)!}\longrightarrow\dfrac{9\times8\times7\times6!}{6(6)!}\longrightarrow\dfrac{9\times8\times7}{6}=84\\\\\text{Para a sele\c{c}\~ao do \'unico homem necess\'ario,}\\\text{h\'a a seguinte quantidade de combina\c{c}\~oes:}\\\\\dfrac{7!}{1!(7-1)!}=7\\\\\text{Para as tr\^es vagas restantes no grupo, concorridas pelos demais}\\\text{seis homens e seis mulheres, h\'a a seguinte quantidade de combina\c{c}\~oes:}\\\\\dfrac{12!}{3!(12-3)!}\longrightarrow\dfrac{12\times11\times10\times9!}{6(9)!}\longrightarrow\dfrac{12\times11\times10}{6}=220\\\\\text{Pelo princ\'ipio multiplicativo, a quantidade de combina\c{c}\~oes}\\\text{para o grupo de sete pessoas ser\'a dado por:}\\\\84\times7\times220=\boxed{\boxed{129360}}$