Question

numa prova de resistência com 135km, um ciclista percorre K km nos primeiros 12 minutos, K-3 km nos 12 minutos subsequentes, K-6 km nos 12 minutos seguintes e assim sucessivamente. Se nos últimos 12 minutos o ciclista percorreu 15 km, então o tempo total da prova foi de:
a)48 min
b) 2h
c) 84 min
d) 1h
e) 72 min​

Answer 1

Resposta:

Foi de 48 minutos. Espero ter ajudado.

Answer 2

A questão trata de Progressões aritméticas e da soma de seus termos.

Sabemos que o ciclista, num mesmo período de tempo, percorre K quilômetros menos 3 km para cada 12 minutos seguintes, ou seja, nos primeiros 12 minutos temos que o ciclista percorrerá K km, já nos 12 minutos seguintes, ele percorrerá K-3 km, o seguinte, K-3-3 = K-6 km, e assim por diante. Assim, podemos construir uma fórmula que nos retorna a quantidade de quilômetros após n períodos de 12 minutos:

$a_n=K-3(n-1)$

Onde n = 1 representa os primeiros 12 minutos, n = 2, os próximos 12, e assim por diante.

No entanto, o enunciado nos dá uma informação muito importante, para quando n representam os últimos 12 minutos,

$a_n=15$

$K-3(n-1)=15$

$K=15+3(n-1)$

Sabemos que a quantidade de quilômetros total da prova é de 135 km, ou seja, a soma de todos os a_n devem resultar em 135.

$S_n=135$

Onde Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética a.

Sabemos que a fórmula que nos retorna Sn é dada por

$S_n=\dfrac{(a_n+a_1)n}{2}$

Como an é o último termo da soma, vale,

$\dfrac{(15+K)n}{2}=135$

Devemos fazer com que K desapareça, podemos fazer isso substituindo o valor de K pelo valor que encontramos mais acima:

$K=15+3(n-1)$

Assim,

$\dfrac{(15+15+3(n-1))n}{2}=135$

$(30+3(n-1))n=270$

Distribuindo,

$30n+3n^2-3n=270$

$3n^2+27n-270=0$

Dividindo ambos os lados por 3

$n^2+9n-90=0$

Resolvemos por Bhaskara, obtendo duas raízes: n = 6 ou n = -15

Como n negativo não faz sentido, obtemos n = 6, ou seja, o ciclista completa a corrida no sexto período de 12 minutos, assim, o tempo T total para completar o percurso é de:

$T=6*12=72 \: min$

Alternativa e)