Question

Numa progressão, observa-se que a soma (Sn) dos seus n termos iniciais (n indica a posição de cada termo na série) é fornecida pela expressão Sn = 7n - n². Assinale a alternativa que mostra o valor do termo que ocupa a 5ª posição da série.
A) -2
B) 1
C) 4
D) 7
E) 10

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \mathsf{S_n=7n-n^2}\qquad\textsf{com }\mathsf{n=1,\,2,\,3,\,\ldots} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Como }\mathsf{S_n}\textsf{ \'e a soma dos n termos iniciais de uma}\\\textsf{progress\~ao }\mathsf{a_n,}\textsf{ temos que}\\\\\\ \mathsf{S_n=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_{n}}\\\\ \mathsf{S_n=(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1})+a_{n}}\\\\ \mathsf{S_n=S_{n-1}+a_{n}}\\\\ \mathsf{a_n=S_n-S_{n-1}}\\\\ \mathsf{a_n=(7n-n^2)-[7(n-1)-(n-1)^2]} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{a_n=7n-n^2-[7n-7-(n^2-2n+1)]}\\\\ \mathsf{a_n=7n-n^2-[7n-7-n^2+2n-1]}\\\\ \mathsf{a_n=\;\diagup\!\!\!\!\! 7n-\diagdown\!\!\!\!\! n^2-\diagup\!\!\!\!\! 7n+7+\diagdown\!\!\!\!\! n^2-2n+1}\\\\ \mathsf{a_n=7+1-2n}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_n=8-2n}\end{array}}\qquad\textsf{com }\mathsf{n=1,\,2,\,3,\,\ldots} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{que \'e uma progress\~ao aritm\'etica de raz\~ao }\mathsf{r = -2,}\textsf{ cujo}\\\textsf{primeiro termo \'e}\\\\ \mathsf{a_1=8-2\cdot 1}\\\\ \mathsf{a_1=2}\\\\ \mathsf{a_1=6} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Como \'e pedido o termo que ocupa a quinta posi\c{c}\~ao }\\\textsf{na sequ\^encia, o termo procurado \'e}\\\\ \mathsf{a_5=8-2\cdot 5}\\\\ \mathsf{a_5=8-10} \end{array}$

$\large\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a_5=-2} \end{array}}$   <———  $\large\textsf{esta \'e a resposta (alternativa a).}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$