Question

Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = - 320. A soma dos sete primeiros termos é :
Escolha uma opção:
a. 430
b - 140
C. – 850
d - 210
e. 1710​

Answer 1

Da formula da soma de uma PG temos

$S_{PG}=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ dai então só precisamos encontrar a razão $q$ e o $a_1$ com os dados fornecidos

Utilizando a formula do termo geral de uma PG, a qual é

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Para n=3, temos:

$a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\\\a_3=a_1\cdot q^{2}$ como $a_3=40$, então

$40=a_1\cdot q^2$

Para n=6, temos:

$a_6=a_1\cdot q^{6-1}\\\\a_6=a_1\cdot q^5$ como $a_6=-320$, então

$-320=a_1\cdot q^5$

Obtemos então duas equações

$\displaystyle\left \{ {{-320=a_1\cdot q^5} \atop {40=a_1\cdot q^2}} \right.$

Vou dividir a primeira pela segunda, assim

$\dfrac{-320}{40}=\dfrac{a_1\cdot q^5}{a_1\cdot q^2}$ simplificando $a_1$ e utilizando uma propriedade de potencia

$q^{5-2}=-8$

$q^3=-8\\\\q=\sqrt[3]{-8}\\\\q=-2$

Substituindo $q=-2$ na segunda equação para achar o $a_1$ obtemos

$40=a_1(-2)^2\\\\4a_1=40\\\\a_1=\dfrac{40}{4}\\\\a_1=10$

Por fim, tendo $a_1=10$ e $q=-2$ substituimos na formula da soma da PG

$S_{PG}=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ como queremos a soma dos 7 primeiros termos, temos que ter $n=7$, logo

$S_{PG}=\dfrac{10([-2]^7-1)}{-2-1}\\S_{PG}=\dfrac{10([-2]^7-1)}{-3}\\\\S_{PG}=\dfrac{10(-128-1)}{-3}\\\\S_{PG}=\dfrac{10\cdot(-129)}{-3}\\\\S_{PG}=\dfrac{-1290}{-3}\\\\\boxed{\boxed{S_{PG}=430}}$

Letra A