Question

Numa progressão geométrica ( P.G )
decrescente, o primeiro termo é um número real positivo e
cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da
soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Determine a razão dessa P.G

Answer 1

Se a PG é decrescente então q<1.

$a_{n} = \frac{a_{n-1}+a_{ n-2}}{6} = \frac{a_{n}.q^{-1}+a_{n}.q^{-2}}{6} = \frac{a_{n}.q^{-2}(q + 1)}{6}\\ 6 = q^{-2}(q+1)\\ 6q^{2} = q+1\\ 6q^{2}-q-1=0\\ delta = 1 +24 = 25 = 5^{2}\\ q_{1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \\ q_{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Mas como q não pode ser negativo, a resposta é 3.