Question

Numa progressao geometrica de numeros inteiros maiores que 1 e razao inteira, o produto dos dois primeiros termos é igual a 54. O quarto termo dessa progressao é?

Answer 1

Como é uma progressão geométrica, podemos escrevê-la da seguinte forma:

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Nessa forma, "n" é o "n-ésimo" termo, isto é, n=1 nos da o primeiro termo, n=2 nos da o segundo, e por ai em diante, e $a_1$ é o primeiro termo.

Como ele nos deu que o produto dos primeiros termos é 54;

$a_1*a_2=54\\a_1*(a_1*r)=54\\(a_1)^2*r=54\\r=\frac{54}{(a_1)^2}$

Para que a razão seja inteira e maior que 1, pegamos o primeiro valor de $a_1$ maior que 1 que satisfaz essa condição. Logo, $a_1$ deve ser 3, e a razão é

$r=\frac{54}{3^2}=\frac{54}{9}=6$

Deste modo, nosso 4 termo assuma a forma de:

$a_4=a_1*r^{4-1}\\=3*6^3\\=3*216=648$

Resposta: 648