Question

Numa progressão geometrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois ultimos vale 8. Calcule a razão da progressão..

Answer 1

Resposta:

Razão da Progressão Geométrica 2√2

Explicação passo-a-passo:

.

=> O que sabemos:

a₁ + a₂ = 1

a₃ + a₄ = 8

…donde (em função de a₁) o 2º, 3º e 4º termos resultam em:

a₂ = a₁ . q

a₃ = a₁ . q²  

a₄ = a₁ . q³  

Assim;

a₁ + a₂  = a₁ + a₁ . q = 1

colocando em evidencia

a₁ . (1 + q) = 1  

a₁ = 1 / (1 + q)

a₃ + a₄ = a₁ . q² + a₁ . q³ = 8  

colocando em evidencia  

a₁ . (q² + q³) = 8  

a₁ = 8 / (q² + q³)

…e pronto temos já uma “igualdade” que nos permite o cálculo da razão “q”

a₁ = 1 / (1 + q)

a₁ = 8 / (q² + q³)

Equacionando:

1 / (1 + q) = 8 / (q² + q³)

……MMC = [(1 + q),(q² + q³)]  

q² + q³ = 8 . (1 + q)

q² . (1 + q) = 8 . (1 + q)

...simplificando

q² = 8  

q = ± √8

..como √8 = √(2³) = √[2 . (2²)] = 2√2  

..note que é EXPRESSAMENTE indicado no texto que os termos são positivos

…logo o conjunto solução deixa de ser  ± √8

…e passa a ser de considerar apenas a solução positiva “√8” ..ou ainda, apenas “2√2”

Deste modo a razão da P.G. será :

q = 2√2  <= razão da Progressão

Espero ter ajudado