Question

Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Qual é a razão dessa progressão?

Answer 1

{x, xq, xq², xq³}

x+xq=1 -> x(1+q)=1 -> x=1/(1+q)

xq²+xq³=9 -> x(q³+q²)=9 -> x=9/(q³+q²)

1/(1+q)=9/(q²+q³)

q²+q³=9+9q

q³+q²-9q-9=0

Perceba o agrupamento que temos.

q²(q+1)-9(q+1)=0

(q²-9)(q+1)=0

Logo, q+1=0 -> q = -1 é sólução

q²-9=0 -> q² = 9 -> q = 3 e q = -3 são solução

Lembre-se, porém, que a questão afirma que todos os termos da PG são positivos. Logo, a razão q = 3.

Pode parecer sorte, mas é natural que o sistema acabe em agrupamento, pois os termos das somas serão x+xq e xq² + xq³ -> x(1+q) e xq²(1+q). Bons estudos.