Question

Numa progressão geométrica a diferença entre o 2º e o 1º termo é 9,e a diferença entre o 5º e o 4º termo é 576? qual é o 1° termo da progressao

Answer 1

Olá Natália,

primeiramente quero que você veja os termos de uma progressão geométrica, expostos genericamente:

$a _{1}\\ a _{2}=a _{1}*q\\ a _{3}=a_{1}*q ^{2} \\ a _{4}=a _{1}*q ^{3}\\ a _{5}=a _{1}*q ^{4}\\ .~~~~~~~~~~~~.\\ .~~~~~~~~~~~~.$

Do problema, temos que:

$\begin{cases}a _{2}-a _{1}=9\\ a _{5}-a _{4}=576 \end{cases}~\to~\begin{cases}(a _{1}*q)-a _{1}=9~~(I)\\ (a _{1}*q ^{4})-(a_{1}*q ^{3})=576~~(II)\end{cases}$

Agora vamos fatorar as equações I e II, de modo que elas tenham fatores comuns:

$\begin{cases}a _{1}*(q-1)=9~~(I)\\ a _{1}*q ^{3}*(q-1)=576~~(II) \end{cases}$

Sabendo-se que $a _{1}(q-1)=9$ na equação I, pode ser substituído na

equação II, então vamos, fazê-lo:

$9q ^{3}=576\\ q ^{3}=576/9\\ q ^{3}=64\\ q= \sqrt[3]{64}\\ q=4$

Se a razão q, vale 4, podemos substituí-la facilmente em uma das equações, vamos pela 1ª:

$a _{1}(q-1)=9\\ a _{1}*(4-1)=9\\ 3a_{1}=9\\ a _{1}=9/3\\\\ \boxed{a _{1}=3}~\to~primeiro~termo~da~progressao$


Espero que tenha entendido e tenha ótimos estudos =))