Question

Numa Progressão Aritmética, temos:

a1+a3+a5+...+a139=4900
a2+a4+a6+...+a140=4970

Qual é o valor da razão dessa P.A.?

a) 0,5 b) 1 c) 50 d) 80 e) 100

Answer 1

Olá;

A resposta correta está na alternativa B.

Para resolver essa questão, primeiro, é necessário que façamos algumas observações.

- A soma $\mathsf{a_1+a_3+a_5+...+a_{139}}$ tem 70 termos.

- A soma $\mathsf{a_2+a_4+a_6+...+a_{140}}$ também tem 70 termos.

- Todo termo da P.A pode ser escrito na forma: $\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}$

Vamos à resolução.

Como as duas somas tem a mesma quantidade de termos, podemos comparar cada termo dessas somas, para identificar as diferenças entre elas. A equivalência será por posição, não por valor. Teremos:

1° termo: $\mathsf{a_1\equiv a_2\ |\ a_1\equiv a_1+r}$

2° termo: $\mathsf{a_3\equiv a_4\ |\ a_1+2r\equiv a_1+3r}$

3° termo: $\mathsf{a_5\equiv a_6\ |\ a_1+4r\equiv a_1+5r}$

Seguindo essa lógica, temos que um n-ésimo termo pode ser expresso da seguinte maneira:

$\mathsf{a_n\equiv a_{n+1}\ |\ a_1+(n-1)r\equiv a_1+nr}$

Por meio dessa linha de raciocínio, podemos afirmar que cada termo da segunda soma (os termos pares) tem uma razão à mais que os termos da primeira soma. Assim sendo, como são 70 termos em cada sequência, podemos afirmar que são 70 razões de diferença.

Com base no que foi supramencionado, podemos afirmar que a diferença entre as somas refere-se ao valor de 70 razões. Assim, teremos:

$\mathsf{70r=4.970-4.900}\\\\\mathsf{70r=70}\\\\\mathsf{r=\dfrac{70}{70}}\\\\\mathsf{r=1}$

Com isso, temos que a resposta correta está na alternativa B.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.