Question

Numa progressão aritmética de termos positivos, o primeiro termo (1),o quinto (5), e o vigésimo primeiro (21),formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. A razão dessa progressão geométrica é:
Obs: resposta=4

Answer 1

Vamos representar as progressões assim:
-Na P.A.:
$a_1=a\\\\ a_5=a_1+(n-1).r\\ a_5=a+(5-1).r\\ a_5=a+4r\\\\ a_{21}=a_1+(21-1).r\\ a_{21}=a+20r$

-Para a PG temos:

$PG(a, \ a+4r, \ a+20r)\\\\ Raz\~ao \ da \ PG \ = \ q=\frac{a+4r}{a}=\frac{a+20r}{a+4r}\\\\ Assim:\\\\ \frac{a+4r}{a}=\frac{a+20r}{a+4r}\\\\ (a+4r)^2=a(a+20r)\\ a^2+8ar+16r^2=a^2+20ar\\ 8ar-20ar+16r^2=0\\ -12ar+16r^2=0\\ 16r^2=12ar \ \ (dividir \ por \ 4r)\\ 4r=3a\\\\ r=\frac{3a}{4}$

Representando a PG em termos de "a" temos:
$PG(a, \ a+4r, \ a+20r)\\\\ Sendo \ r=\frac{3a}{4}\\\\ a+4r=a+4.\frac{3a}{4}=\frac{4a+12a}{4}=\frac{16a}{4}=4a\\\\ a+20r=a+20.\frac{3a}{4}=\frac{4a+60a}{4}=\frac{64a}{4}=16a\\\\ Agora:\\ P.G.(a,4a,16a)\\\\ Raz\~ao \ da \ PG \ = \ q=\frac{4a}{a}=4$