Question

numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2 a soma dos n primeiros termos e 20/3. o valor de n é?

Answer 1

Fórmula da soma dos termos de uma PA:

$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Vamos determinar o enésimo termo, usando a fórmula do termo geral:

$a_1 = \frac{1}{3} \\ \\ r = \frac{1}{2} \\ \\ a_n = a_1+(n-1)r \\ \\ a_n = \frac{1}{3} + (n-1)\cdot \frac{1}{2} \\ \\ a_n = \frac{1}{3} + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} \\ \\ a_n= \frac{2}{6} + \frac{3n}{6} - \frac{3}{6} \\ \\ \boxed{a_n = \frac{3n-1}{6}}$

Agora, voltando na fórmula da soma dor termos, vamos determinar o valor de n:

$S_n = \frac{20}{3} \\ a_1 = \frac{1}{3} \\ \\ a_n = \frac{3n-1}{6} \\ n = \,? \\ \\ S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} \\ \\ \frac{20}{3} = \frac{( \frac{1}{3}+ \frac{3n-1}{6})n }{2} \\ \\ \frac{20\cdot 2}{3} = \frac{n}{3} + \frac{3n^2-n}{6} \\ \\ 80=2n +3n^2-n \\ \\ 3n^2 + n - 80 = 0 \\ \\ n = \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot (-80)} }{2.3} \\ \\ \\ n' = 5$
$n'' = - \frac{16}{3}$ (não serve)

O número de termos é n = 5