Question

Numa progressão aritmética de cem termos, a soma a49+a52 é 25. Determine a soma de todos os elementos dessa P.A.

Answer 1

Olá.

Primeiro vamos fatorar o que nos foi dado.
$\mathsf{a_{49}+a_{52}=25}\\\\ \mathsf{(a_1+48r)+(a_1+51r)=25}\\\\ \mathsf{a_1+48r+a_1+51r=25}\\\\ \mathsf{2a_1+99r=25}$

Vamos agora fazer a soma.
$\mathsf{S=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\\\\ \mathsf{S_{100}=\dfrac{(a_1+a_{100})\cdot100}{2}}\\\\ \mathsf{S_{100}=(a_1+a_1+99r)\cdot50}\\\\ \mathsf{S_{100}=(2a_1+99r)\cdot50}\\\\ \mathsf{Note~que~j\'a~descobrimos~o~valor~de~\boxed{\mathsf{2a_1+99r}}.~Logo,~substitu\'imos}}.\\\\ \mathsf{S_{100}=(25)\cdot50}\\\\ \boxed{\mathsf{S_{100}=1.250}}$

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Bons estudos.