Question

numa progressão aritmética crescente, três dos seus números são inteiros positivos e consecutivos de modo que a soma dos seus cubos é igual ao quadrado da sua soma. determine o termo geral da progressão aritmética?

Answer 1

Explicação passo a passo:

Na PA os 3 numeros consecutivos serão

a1 = x

a2 =x + 1

a3 = x + 2

soma dos cubos = quadrado da soma

x³ + ( x + 1)³ + ( x+ 2 )² = ( x + x + 1 + x + 2 )²

( x + 1)³ = [x³ + 3 * x² * 1 + 3 * x * 1² + 1³] = x³ + 3x² +3x + 1

( x + 2)³ = [ x³ + 3 * x² * 2 + 3 * x * 2² + 2³ ] =x³ + 6x² + 12x + 8

reescrevendo

x³ + x³ + 3x² + 3x + 1 + x³ + 6x² + 12x + 8 = (3x + 3 )²

colocando na ordem dos termos semelhantes no primeiro membro

x³ + x³ + x³ + 3x² +6x² + 3x + 12x + 8 + 1 = [ (3x)² + 2 * 3x * 3 + 3² ]

3x³ + 9x² + 15x + 9 -= 9x² + 18x + 9

passando termos do segundo membro para o primeiro com sinais trocados

3x³ + 9x² + 15x + 9 - 9x² -18x -9 = 0

eliminando + 9x² com - 9x² e +9 com -9

3x³ + 15x - 18x = 0

+ 15x - 18x = ( +15 - 18)x = - 3x >>>

reescrevendo

3x³ - 3x = 0

3x ( x² - 1 ) = 0

3x = 0

x = 0/3= 0 >>>>resposta x1

x² - 1 = 0

x² = +1

Vx² = V1

x = 1 >>>>resposta x2

Na PA teremos

a1= x = 1 >>>

a2 = x + 1 = 1 + 1 = 2 >>>>

a3 = x + 2 = 1 + 2 = 3 >>>>

r= 2 - 1 = 1 >>>>

PA [ 1,2, 3 ......... an ]

OU

na PA teremos

a1 =x = 0 >>>>

a2 = x + 1 = 0 + 1 = 1>>>>

a3= x + 2 = 0 + 2 = 2 >>>>

r = 1 - 0 = 1 ******

PA [ 0, 1, 2 ..........an ]

an = a1 + ( n - 1).r

an = 0 + ( n - 1).1

an = 0 + n - 1

an= n- 1 >>>>>>resposta

ou

an = 1 + ( n - 1).r

an =1 + (n -1 ).1

an = 1 + n - 1

an = n >>>>>> resposta